第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？ 问题：这些关系式有什么共同点？ 二、合作探究 探究点一：反比例函数的定义 【类型一】 反比例函数的识别 下列函数中：①y＝；②3xy＝1；③y＝；④y＝.反比例函数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①y＝是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝，是反比例函数，正确；③y＝是反比例函数，正确；④y＝是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝(k为常数，k≠0)，y＝kx－1(k为常数，k≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)． 【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值 已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值． 解析：由反比例函数的定义可得 2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可． 解：∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，∴解得m＝－2. 方法总结：反比例函数也可以写成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0. 探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式 【类型一】 确定反比例函数解析式 已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求： (1)y与x之间的函数解析式； (2)当y＝2时，x的值． 解析：(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可． 解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝(k≠0)，∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－； (2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6. 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y＝(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式． 【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题 已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求： (1)y关于x的关系式； (2)当x＝－时，y的值． 解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1，y2的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式． 解：(1)∵y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，∴设y1＝k1(x－1)(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x－1)＋.当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1，∴∴k1＝1，k2＝－2，∴y＝x－1－； (2)把x＝－代入(1)中函数关系式得y＝－. 方法总结：能根据题意设出y1，y2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键． 探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题 写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数． (1)底边为3cm的三角形的面积ycm2随底边上的高xcm的变化而变化； (2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系； (3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化． 解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数． 解： ... ...
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