第18讲 代数型坐标转化 【例题讲解】 例题1 ①点A（a，a＋2）无论a取何值，都在直线l上，则l的直线解析式为_____. 答案：y＝x＋2. ②无论a取什么实数，点P（a－1,2a－3）都在直线l上，若点Q（m，n）是直线l上的点，则2m－n＋3的值是 ． 答案：4. ③若点P坐标为（2m，－m2－m－4），点P随着m的变化在某一个函数上运动，则该函数解析式为_____. 答案：y＝－－－4. 例题2、已知，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（m，），点C为线段OA上一点（点O为原点），则AB＋BC的最小值为 ． 答案：． 【解析】∵点B（m，m）， ∴点B在y＝m的直线上， 如图，作点A关于直线OB的对称点D，过D作DC⊥OA于C交直线OB于B， 则CD＝AB＋BC的最小值， ∵B（m，m）, ∴tan∠BOC＝， ∴∠AOB＝30°， ∵∠AHO＝90°， ∴AH＝OA， ∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∴AD＝2AH＝4， ∴DC＝， ∴AB＋BC的最小值＝， 故答案为：． 例题3 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，－2）、点B（3m，4m＋1）（m≠－1），点C（6,2），则对角线BD的最小值是 ． 答案：6. 【解析】如图，∵点B（3m，4m＋1）， ∴令， ∴y＝x＋1， ∴B在直线y＝x＋1上， ∴当BD⊥直线y＝x＋1时，最小， 过B作BH⊥x轴于H，则BH＝4m＋1， ∵BE在直线y＝x＋1上，且点E在x轴上， ∴E（－，0），G（0,1）， ∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上， ∴F是AC中点， ∵A（0，－2），点C（6,2）， ∴F（3,0） 在Rt△BEF中， ∵BH2＝EH·FH， ∴（4m＋1）2＝（3m＋）（3－3m）， 解得：＝－（舍），＝， ∴B（，） ∴BD＝2BF＝2×＝6， 则对角线BD的最小值是6； 故答案为：6． 【巩固练习】 1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,2），点M的坐标为（m－1，－m－）（其中m为实数），则PM的最小值为 ． 2．已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0,0）、A（5,0）、B（m，2）、C（m－5,2）． （1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值． 参考答案 1.答案：16. 2.【解析】（1）存在；（2）m的值为3.5或6.5. （1）存在． ∵O（0,0）、A（5,0）、B（m，2）、C（m－5,2）, ∴OA＝BC＝5，BC∥OA， 以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OEA＝90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，EG＝GF， ∴EG＝＝1.5， ∴E（1，2），F（4，2）， ∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90°； （2）如图2， ∵BC＝OA＝5，BC∥OA, ∴四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB， ∴∠AOC＋∠OAB＝180°， ∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB， ∴∠AOQ＝∠AOC，∠OAQ＝∠AOB， ∴∠AOQ＋∠OAQ＝90°， ∴∠AQO＝90°， 以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OFA＝90°， ∴点Q只能是点E或点F， 当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA， ∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB， ∴CF＝OC，BF＝AB， 而OC＝AB， ∴CF＝BF，即F是BC的中点． 而F点为（4,2），则＝4，解得m＝6.5， ∴此时m的值为6.5， 当Q在E点时，同理可得＝1，此时m的值为3.5， 综上所述，m的值为3.5或6.5． ... ...
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