9.3 等比数列(3)学案

9.3　等比数列(三) [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． [知识链接] 1．求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？ 答　由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.所以Sn＝. 2．在等比数列{an}中，若q≠1，则有＝＝＝…＝＝q.由等比性质，得＝q， 至此你能用a1和q表示出Sn吗？ 答　由＝q，得＝q，于是Sn＝＝. [预习导引] 1．等比数列前n项和公式 (1)在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项和Sn＝na1. (2)在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和Sn＝＝. 2．等比数列前n项和公式的变式 若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A－Aqn.其中A＝. 3．错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和. 要点一　等比数列前n项和公式的基本运算 例1　在等比数列{an}中， (1)若q＝2，S4＝1，求S8； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5. 解　(1)方法一　设首项为a1，∵q＝2，S4＝1， ∴＝1，即a1＝， ∴S8＝＝＝17. 方法二　∵S4＝＝1，且q＝2， ∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17. (2)设公比为q，由通项公式及已知条件得 即 ∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝， ∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×3＝1， S5＝＝＝. 规律方法　(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量；这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 跟踪演练1　已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝64. (1)求数列{an}的通项an； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， ∵a3＝4，a7＝64，∴解得a1＝1，q＝±2. 当q＝2时，an＝1×2n－1＝2n－1， 当q＝－2时，an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1. (2)当q＝2时，Sn＝＝2n－1；当q＝－2时， Sn＝＝. 要点二　错位相减法求和 例2　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)． 解　分x＝1和x≠1两种情况． 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 ＝－nxn＋1. ∴Sn＝－. 综上可得Sn＝ 规律方法　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法． 跟踪演练2　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和． 解　(1)当a＝0时，Sn＝1. (2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)， 则Sn＝＝n2. (3)当a≠1且a≠0时， 有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an② ①－②得Sn－aSn ＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an， (1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1) ＝1－(2n－1)an＋2· ＝1－(2n－1)an＋， 又1－a≠0，∴Sn＝＋. 综上， Sn＝ 要点三　等比数列前n项和公式的应用 例3　设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)由已知得解得a2＝2. 设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q， 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0. 解得q1＝2，q2＝.由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n ... ...