(
课件网) 第14课时 二次函数的图象与性质(二) 第三单元 函数及其图象 考点一 二次函数解析式的确定 用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下: 条件 设法 顶点在原点 y=ax2(a≠0) 顶点在y轴上 y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴) 顶点在x轴上 y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴) 抛物线过原点 y=ax2+bx(a≠0) 顶点为(h,k) y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 考点二 二次函数的图象与系数的关系 项目 字母 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向① ? a<0 开口向② ? b b=0 对称轴为③ 轴? ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴④ 侧? ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴⑤ 侧? 上 下 y 左 右 (续表) 项目 字母 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 字母的符号 图象的特征 c c=0 经过点⑥ ? c>0 与y轴⑦ 相交? c<0 与y轴⑧ 相交? b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有⑨ 个不同的交点? b2-4ac<0 与x轴没有交点 (0,0) 正半轴 负半轴 两 项目 字母 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 字母的符号 图象的特征 特殊关系 当x=1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=⑩ ? 若a+b+c>0,则当x=1时,y>0 若a-b+c>0,则当x= 时,y>0? a-b+c -1 (续表) 考向一 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象信息题 例1[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-1所示,下列结论:①ac<0,②b-2a<0,③b2-4ac<0,④a-b+c<0,正确的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 图14-1 [答案] A 【方法点析】求解此类问题的一般步骤: (1)判定a的符号:开口向上,则a>0;开口向下,则a<0; (2)判定b的符号:对称轴在y轴左侧,则a,b同号;对称轴在y轴右侧,则a,b异号; (3)判定c的符号:交点在y轴正半轴,则c>0;交点在y轴负半轴,则c<0; (4)根据a,b,c的符号判定ab,bc,ac,abc的符号; (5)根据抛物线与x轴的交点个数判定b2-4ac与0的大小关系; (6)特殊等式(或不等式)的判断:a+b+c(或4a+2b+c)为x=1(或x=2)时的y值,a-b+c (或4a-2b+c)为x=-1(或x=-2)时的y值,根据抛物线上相应点的位置判定其符号. | 考向精练 | 1.[2019·娄底]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-2所示,下列结论中正确的有 ( ) ①abc<0;②b2-4ac<0;③2a>b;④(a+c)2
0;②9a+3b+c<0;③2c-3b<0;④b2-4ac=8a.其中正确的结论是 . (填写所有正确结论的序号)? 图14-3 [答案] ①②③④ 考向二 二次函数解析式的求法 (2)由顶点A(-1,4),可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0). ∵二次函数的图象过点B(2,-5), ∴点B(2,-5)的坐标满足二次函数解析式, ∴-5=a(2+1)2+4, 解得a=-1. ∴二次函数的解析式是y=-(x+1)2+4, 即y=-x2-2x+3. (3)方法一:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3), 把C(0,-3)代入得a×1×(-3)=-3,解得a=1, 所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. 【方法点析】用待定系数法求二次函数解析式的三种设法: (1)已知抛物线上三点,设为y=ax2+bx+c(a≠0); (2)已知抛物线顶点坐标(h,k),设为y=a(x-h)2+k; (3)已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0),设为y=a(x-x1)(x-x2). | 考向精练 | C 2.[2017·百色] 经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是 .? [答案] 4.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,4)和点B(m,0),且m≠0. (1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图14-4,请根据图象说明此时y的最小值及m的值; (2)若m=4,求抛物线的解析式. 解:(1)∵该抛物线的对称轴经过点A, ... ... 