第3讲 3 排序不等式学案

三　排序不等式 学习目标　1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用． 知识点　排序不等式 思考1　某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？ 答案　(1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案． (2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多； 5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少． 思考2　如图，∠POQ＝60°，比较与的大小． 答案　 梳理　(1)顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列． ①乱序和：S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn. ②反序和：S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1. ③顺序和：S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn. (2)排序不等式(排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和． 类型一　利用排序不等式证明不等式 例1　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c， 求证：＋＋≥＋＋. 证明　∵a≥b＞0，于是≤， 又c＞0，从而≥， 同理≥，从而≥≥. 又顺序和不小于乱序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ≥＋＋ ＝＋＋＝＋＋. ∴原不等式成立． 反思与感悟　利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． 跟踪训练1　已知0＜a≤b≤c，求证：＋＋≥＋＋. 证明　因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c， 所以≥≥＞0， 又0＜a2≤b2≤c2， 所以＋＋是顺序和， ＋＋是乱序和， 由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和， 即不等式＋＋≥＋＋成立． 例2　已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)． 证明　由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0， 所以a2≥b2≥c2，≥≥. 由顺序和≥乱序和得到两个不等式： ＋＋≥＋＋， ＋＋≥＋＋. 两式相加，得 2≥＋＋， 注意到≥(b＋c)，≥(c＋a)， ≥(a＋b)， 所以2 ≥(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b) ＝a＋b＋c. 故＋＋≥(a＋b＋c)． 反思与感悟　对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据． 跟踪训练2　设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明： a3＋b3＋c3≤＋＋. 证明　不妨设0＜a≤b≤c， 则a5≤b5≤c5，≤≤， 所以由排序不等式可得 a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋， a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋， 所以a3＋b3＋c3≤＋＋. 类型二　利用排序不等式求最值 例3　设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值． 解　由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0， 则a＋b≥a＋c≥b＋c， ≥≥， 由排序不等式，得 ＋＋≥＋＋， ＋＋≥＋＋， 上述两式相加，得2≥3， 即＋＋≥. 当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值. 反思与感悟　求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值． 跟踪训练3　设0＜a≤b≤c且abc＝1.试求＋＋的最小值． 解　令S＝＋＋， 则S＝＋＋ ＝·bc＋·ac＋·ab. 由已知可得≥≥，ab≤ac≤bc. ∴S≥·ac＋·ab＋·bc ＝＋＋. 又S≥·ab＋·bc＋·ac ＝＋＋， 两式相加，得2S≥＋＋≥3·＝3. ∴S≥，即＋＋的最小值为. 1．设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是(　　) A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q 答案　B 解析　不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2 ... ...