1.5.3　反证法和放缩法学案

1.5.3　反证法和放缩法 1.理解反证法和放缩法的概念. 2.会用反证法和放缩法证明较简单的不等式. 自学导引 1.反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确. 2.放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大. 基础自测 1.设M＝＋＋＋…＋，则(　　) A.M＝1 B.M<1 C.M>1 D.M与1大小关系不定 解析　M是210项求和， M＝＋＋＋…＋ <＋＋＋…＋＝1，故选B. 答案　B 2.已知a，b∈R＋，下列各式中成立的是(　　) A.cos2θ·lg a＋sin2θ·lg blg(a＋b) C.acos2θbsin2θ＝a＋b D.acos2θ·bsin2θ>a＋b 解析　cos2θlg a＋sin2θlg b＝cos2θlg a＋(1－cos2θ)lgb＝cos2θlg＋lg b0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0. 证明　假设a、b、c不全是正数， 即至少有一个小于或等于0. 又abc>0，不妨假设a<0，则bc<0. ∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0. ∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0. 即ab＋bc＋ca<0. 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾. ∴假设不成立. 故a>0，b>0，c>0成立. ●反思感悟：用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立. 1.设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立. 证明　由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1； 同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立. 知识点2　放缩法证明不等式 【例2】设Sn＝＋＋…＋， 求证：不等式＋＋…＋ ＝1＋2＋…＋n＝. 且Sn<＋＋…＋＝＋＋…＋ <＋＋＋…＋＝ ∴c， 求证：＋>. 证明　∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，由真分数的性质： <＝ ＝＋<＋ ∴＋>. ●反思感悟：函数的单调性和“真分数的分子、分母同加上一正数，所得新分数的值变大”的性质都是放缩的重要依据. 3.求证：＋＋＋…＋<3 (n∈N*). 证明　设S＝＋＋＋…＋， 将等式两边乘以得S＝＋＋＋…＋. 将两式相减得 S＝＋2－ ＝＋1－.∴S＝3－，又>0， ∴S<3，即＋＋＋…＋<3 (n∈N*). 课堂小结 1.用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面.当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法. (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的. 2.放缩法是不等式证 ... ...