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课件网) 1.3.5 二次函数性质的再研究 【学习目标】 1．理解二次函数的图象特征及其解析式． 2．探讨二次函数的性质． 二次函数的系数 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 1-3-5 所示． 图 1-3-5 确定符号：a_____，b_____，c_____，b2－4ac_____. <0 >0 >0 >0 练习 1：若 y＝x2＋ax＋b 在[0,1]上的最大值为 1，最小值为 0，且 a≤－2，则 a＝_____，b＝_____. －2 1 最小值为_____． －8 x＝－2 练习 3：二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象如图 1-3-6， 那么|OA|·|OB|＝( ) 图 1-3-6 B 练习 4：二次函数 y＝(k＋1)x2－2(k－1)x＋3(k－1)的图象的 ) 顶点在 x 轴上，则 k＝( A．1 C．1 或－1 B．－2 D．1 或－2 D 【问题探究】 1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 在什么情况下是偶函数？可 以是奇函数吗？ 答案：当 b＝0 时为偶函数；不可能是奇函数． 2．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的单调性是由哪些要素来确 定的？试写出其单调区间． 答案：二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的单调性由开口方向和对 称轴确定的． 题型 1 求二次函数的值域 【例 1】 根据函数单调性求出下列函数的值域： (1)f(x)＝x2＋4x－1，x∈[－4，－3]； (2)f(x)＝－2x2－x＋4，x∈[－3，－1]； (3)f(x)＝2x2－4x－1，x∈(－1,3)； 解：(1)f(x)＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5， 在[－4，－3]上单调递减，y∈[－4，－1]． 在 x∈[－3，－1]上单调递增，y∈[－11,3]． (3)f(x)＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3， x∈(－1,3)，当 x＝1 时，取得最小值为－3， 又∵f(－1)＝5，f(3)＝5，∴y∈[－3,5)． 求二次函数在某个区间的最值，最容易出现的 错误是直接代两头(将两端点代入)，当然这样做，有时答案也 对，那是因为在该区间函数刚好单调，这纯属巧合．求二次函 数在某个区间的最值时，应先配方，找到对称轴和顶点，再结 合图形进行求解． 【变式与拓展】 解：二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为 画出函数的图象，由图 D21，可知：当 x ＝－1 时，ymax＝4. 图D21 题型 2 轴定区间动问题的分类讨论 【例 2】 设函数 f(x)＝x2－2x－2(其中 x∈[t，t＋1]，t∈R) 的最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式． 解：f(x)＝x2－2x－2＝(x－1)2－3， 当 t＋1≤1，即 t≤0 时，由图 D14 可知：截取减区间上的 一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2－3. 图 D14 当 1
2，即 t>1 时，截取增区间上的一段，如图 D16， g(t)＝f(t)＝t2－2t－2. 图 D15 图 D16 这是一道与二次函数有关的含参数的问题，本 例的二次函数的对称轴固定，而区间不固定，因此需要讨论该 区间相对于对称轴的位置关系． 【变式与拓展】 2．二次函数 y＝－2x2＋x＋1，定义域为[t，t＋1](t 为可变 常数)，下列命题中错误的是( ) A 题型 3 区间定轴动问题的分类讨论 【例 3】 求函数 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值 和最小值． 解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1. ∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为 x＝a 的抛物线． 当 a<0 时(如图 D17)，f(x)的最大值为 f(2)＝3－4a，f(x)的 最小值为 f(0)＝－1. 图 D17 当 0≤a≤1 时(如图D18)，f(x)的最大值为 f(2)＝3－4a，f(x) 的最小值为 f(a)＝－a2－1. 图 D18 图 D19 当 1
