第21章 一元二次方程 21.1一元二次方程 1．只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 ，这样的 整式 方程，叫做一元二次方程．判别一个方程是不是一元二次方程，必须满足①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不能为0。 2．一元二次方程的一般形式为：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项，注意各项系数的符号。 21.2.1配方法 1．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化为两个 一元一次方程 。 2．当 P≥0时，x2 = p 的解为 ，（mx+n）2=p的解为 (m≠0)． 3．通过配成 完全平方式 来解一元二次方程的方法叫做配方法。 4．配方法一般步骤： (1)化二次项系数为l，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边； (2)配方：方程两边同时加上 一次项系数的一半的平方 ，使左边配成一个完全平方式，写成 (mx+n)2=p 的形式； (3)若p ≥ 0，则可直接开平方求出方程的解，若p ＜ 0，则方程无解． 21.2.2公式法 1．一元二次方程成立的条件是 a≠0 ，它的求根公式是 。 2．用公式法解一元二次方程的思路应是： (1)将方程化成 一般形式 ； (2)写出相应的a、b、c的值并计算△的值；(3)当△ ≥0 时，可直接套用公式得出方程的解。 3．一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0) (1)当 b2-4ac＞0 时，有两个不相等的实数根； (2)当 b2-4ac= 0 时，有两个相等的实数根； (3)当 b2-4ac＜0 时，没有实数根。 21.2.3因式分解法 1．当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，得到两个 一元一次方程 ，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。 2．用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)方程的一边化为0； (2)将方程另一边分解成 两个一次因式的积 的形式； (3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1．如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1x2= ． 2．在应用根与系数关系式时应注意两个条件： (l) 二次项系数不为0 。 (2) △≥0 。 21.3实际问题与一元二次方程 1．列方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，明确问题中的已知量和 未知量 ； (2)设：设未知数，可以直接设也可以 间接设 ； (3)列：依题意构建方程； (4)解方程，求出未知数的值； (5)检验作答． 2．构建一元二次有程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合 实际意义 。 3．面积问题：求不规则图形的面积问题，往往把不规则图形转化成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程。 4．利润=（ 售价 - 进价 ）× 销售量 。 第22章 二次函数 22.1.1二次函数 一般地，形如_ y=ax2+bx+c(a≠0) _（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中__x_是自变量，a、b、c分别是函数解析式的_二次__项系数、_一次__项系数、常数__项。 22.1.2二次函数y=ax2图象和性质 1．二次函数y= ax2 的图象是一条 抛物线 ，其对称轴为 y 轴，顶点坐标为 原点 。 2．抛物线y= ax2 与y= - ax2 关于 x 轴对称。抛物线y= ax2 ，当a>0时，开口向 上 ，顶点是它的最 低 点；当a<0时，开口向 下 ，顶点是它的最 高 点。 随着的增大，开口越来越 小 。 22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质 1．二次函数y= ax2+k 的图象是一条 抛物线 ．它与抛物线y= ax2的 形状 相同，只是 顶点位置 不同，它的对称轴为 y 轴，顶点坐标为 (0, k) __。 2．二次函数y= ax2+k 的图象可由抛物线y= ax2 平移 得到．当k >0时，抛物线y= ax2 向上平移 k 个单位得y= ax2+k。 当k<0时，抛物线y= ax2 向__下__平移个单位得y= ax2+k 。 ... ...
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