第3讲 算法初步、复数、推理与证明 考点1 复数 1．复数的除法 复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. [例1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)[2019·全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 【解析】 (1)本题主要考查共轭复数及复数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C. (2)本题主要考查复数的模的概念和复数的几何意义，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算． 通解 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C. 优解一 ∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C. 优解二 在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足 |z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B.故选C. 【答案】 (1)C (2)C 复数运算问题的解题思路 (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解． (2)与复数z的模|z| 和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决. 『对接训练』 1．[2019·河南郑州一测]若复数z满足(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是( ) A．3i B．－3i C．3 D．－3 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由复数相等的充要条件得到3a－4b＝0,3b＋4a＝25，解得b＝3，故选C. 答案：C 2．[2019·吉林长春外国语学校测评]设i为虚数单位，若复数z满足z＝，则z＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：由题意，得z＝＝＝＝－1－i. 答案：D 考点2 程序框图 算法的三种基本逻辑结构需注意： 循环结构分为当型和直到型两种，当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止；直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循 环体，满足则停止．两种循环只是实现循环的不同方法，它们是可以相互转化的． [例2] (1)[2019·全国卷Ⅰ]如图是求的程序框图，图中空白框中应填入( ) A．A＝ B．A＝2＋ C．A＝ D．A＝1＋ (2)[2019·全国卷Ⅲ]执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( ) A．2－ B．2－ C．2－ D．2－ 【解析】 (1)本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理． A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A. (2)本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算． 执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋＝2－，x＝，不满足x<ε＝， 所以s＝1＋ ... ...
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