第三章 函数 第4节 反比例函数及其应用 ■知识点一： 反比例函数的概念及其图象、性质 1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) 2．反比例函数的图象 反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的_图像__，且不与两坐标轴相交． 3．反比例函数的性质 (1)当k＞0时，图象在一、三___象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而__减小__ (2)当k＜0时，图象在_二、四_象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大_． (3)其图象既是关于原点对称的___中心对称____图形，又是__轴对称 图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点． 注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. ■知识点二：比例系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型： ■知识点三：利用待定系数法确定反比例函数表达式 （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． ■知识点四：反比例函数与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. ■知识点五：反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. ■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质 ◇典例： （2019?丹东）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝ 2 ． 分析：根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 解：连接OC， ∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B， ∴S△OAB＝×6＝3， ∵BC：CA＝1：2， ∴S△OBC＝3×＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点C， ∴S△OBC＝|k|＝1， ∴|k|＝2， ∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限， ∴k＝2， 故答案为2． 考点：本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征． ◆变式训练 1．（2019?日照）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（ ） A． B． C． D． 分析：分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 解：①当k＞0时，y＝kx+1过一、二、三象限；y ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
