等腰三角形典型例题练习 1．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．1418944 分析： 过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可． 解答： 证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N， 即∠EMD=∠FND=90°， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°， ∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°， ∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD， 在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF． 2．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．1418944 分析： 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案． 解答： 解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB， ∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO， ∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC． 3．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由． 考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．1418944 分析： 用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形． 解答： △ABC是等腰三角形． 证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF， ∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC， ∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形． 4．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？ 考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定．1418944 分析： （1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数； （2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形． 解答： 解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°， ∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴， （2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴， ∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形． 5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 考点： 含30度角的直角三角形．1418944 分析： 由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明． 解答： 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°． 又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD． 6．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．1418944 分析： 过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论． 解答： 证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图， ∴∠1=∠2，∠4=∠3， ∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE， 在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF． 7．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交 ... ...
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