第5讲 二次根式 一、考点知识梳理 【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根 若x2＝a，则x叫a的平方根．当a≥0时，是a的算术平方根．正数b的平方根记作±.是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质 若x3＝a，则x叫a的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a的立方根记作；＝a，()3＝a，＝－． 3．二次根式的概念 (1)形如(a≥0)的式子叫二次根式，而为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)＝·(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0)； (2)()2＝a(a≥0)； (3)＝|a|＝ 【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法：=(a≥0，b＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间； (5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析 【考点1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】 1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． 2.二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．②a＝ （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a（a≥0）（算术平方根的意义） 【例1】（2019 甘肃中考）使得式子有意义的x的取值范围是（ ） A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 【答案】D． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0， 解得：x＜4， 即x的取值范围是：x＜4． 故选：D． 【一领三通1-1】（2019?广西）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥﹣4； 【分析】根据被开数x+4≥0即可求解； 【解答】解：x+4≥0， ∴x≥﹣4； 故答案为x≥﹣4； 【一领三通1-2】（2019?广州）代数式有意义时，x应满足的条件是 ． 【答案】x＞8． 【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围． 【解答】解：代数式有意义时， x﹣8＞0， 解得：x＞8． 故答案为：x＞8． 【一领三通1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（ ） A．13 B．17 C．24 D．40 【答案】B． 【分析】根据二次根式的定义求出a、b的值，代入求解即可． 【解答】解：∵＝＝2，∴a＝11， ∵＝＝3，∴b＝6， ∴a+b＝11+6＝17． 故选：B． 【一领三通1-4】（2016河北中考）关于的叙述，错误的是（ ） A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C．＝2 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】B． 【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项． 【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意； B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意； C、＝2，原来的说法正确，不符合题意； D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意． 故选：A． 【一领三通1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间( ) C与D B．A与B C．A与C D．B与C 【答案】A. 【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可； (2) ... ...
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