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课件网) 第二章 平面向量 一、网络构建 二、要点归纳 1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 三角形 平行四边形 (x1＋x2，y1＋y2) 向量运算 ? 法则(或几何意义) 坐标运算 向量的线性运算 加法 a＋b＝_____ 三角形 (x1－x2，y1－y2) 相同 相反 (λx1，λy1) x1x2＋y1y2 向量的 线性运算 减法 a－b＝_____ 数乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝0 λa＝_____ 向量的数量积运算 a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0， 数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积 a·b＝_____ 2.两个定理 (1)平面向量基本定理 ①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝ . ②基底：把 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底. (2)向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 . 不共线 任意 有且只有一对 λ1e1＋λ2e2 不共线 所有 b＝λa 3.向量的平行与垂直 a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， b＝λa(a≠0) a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b 有唯一实数λ使得_____ x1y2－x2y1＝0 a⊥b _____ _____ 2 题型探究 PART TWO 题型一 向量的线性运算 √ 解析 作出示意图如图所示. 故选A. 此类平面向量的线性运算问题.求解的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得答案. √ 题型二 向量的数量积运算 (1)用k表示数量积a·b； ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b?x1y2－x2y1＝0， a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题 ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) √ 题型三 向量坐标法在平面几何中的应用 解析 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系(如图所示)， 则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0. 设M(t，2－t)，则N(t＋1，1－t)(0≤t≤1)， 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. √ 解析 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 3 达标检测 PART THREE 解析 如图，设对角线AC与BD交于点O， √ 1 2 3 4 5 ＝－2＋0＝－2. A.30° B.45° C.60° D.120° √ 1 2 3 4 5 解析 设a与b的夹角为θ， 又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1， 即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1. ② 又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，故选C. √ 1 2 3 4 5 4.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝_____. 1 2 3 4 5 解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2). 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ① 又c⊥(a＋b)， ∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ② 1 2 3 4 5 得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1， 由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， －ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0， 谢谢 21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？ 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！ 详情请看： https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php ... ...
