2019-2020学年上学期高二数学寒假自主先学1 正弦定理 学生版（Word版）

SHAPE \* MERGEFORMAT 1．了解正弦定理的推导过程（重点）． 2．运用正弦定理解三角形（重点）． 图片：教材截图 1．正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即． 2．正弦定理的推广及其变形 ①正弦定理的推广：设外接圆的半径为，则． 这样结论对任意三角形都成立． ②正弦定理的常见变形 边化角公式 角化边公式 变式1 变式2 变式3 3．正弦定理的推导 分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况进行推导: ①当为直角三角形时，如下图所示， 有，所以． 又因为，所以有． ②当为锐角三角形时，如下图， 设边上的高是，根据三角函数的定义，，， 所以，得到， 同理可证，即． 当是钝角三角形(如下图)时， 设为钝角，边上的高为． ∵，∴， ∴，且， ∴，即，同理． 综上可知，，对于任意三角形，均有，此即为正弦定理． 4．三角形解的讨论 一般地，已知三角形的两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类问题时将出现误解、一解和两解三种情况下，下面以已知和．用正弦定理求解三角形出现的各种情况为例进行说明．已知，求(若确定，则与c可确定)． （1）从代数角度有:， ①当时，不存在，使，所以无解． ②当时，即时，有，当时有解，当时，无解． ③当时，先求出在内满足的两解(不妨设)，再看是否小于，若小于，则有两解；若，则无解;若且，则有一解． （2）从几何角度有： ①为锐角时，若，无解，如图（1）； 若，一解，如图（2）； 若，两解，如图（3）； 若，一解，如图（4）． ②为直角或钝角时，若，无解，如图（5）；若，一解，如图（6）． 规律总结我们把上述的各种情况归纳成下表： 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，，，则（ ） A． B． C． D． 2．中，角所对的边分别为，已知，，， 则（ ） A． B． C．或 D．或 1．的内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．，由所以不存在这样的三角形． B．，由且，所以只有一个角B． C．中，同理也只有一个三角形． D．中，，此时， 所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形． 所以选择D． 1．在△ABC中，，则三角形解的情况是（ ） A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 1．在中，若角，，边长为4，则边长为（ ） A． B． C． D． 2．已知分别为的三边长，且，则（ ） A． B． C． D．3 3．在中，，，，则角大小为（ ） A． B． C． D． 4．的内角所对的边分别为，且，，， 则（ ） A． B．或 C．或 D． 5．在中，，，，则（ ） A． B． C．或 D． 6．在中，，，，则（ ） A． B．或 C．或 D． 7．在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=_____． 9．已知的内角所对的边分别为，若，，则_____． 10．甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在中，已知，试判断此三角形解的个数．"查看标准答案发现该三角形有一解．若条件中缺失边，那么根据答案可得所有可能的的取值范围是_____． 即学即练： 1．【答案】D 【解析】∵中，，∴， ∴由，得．故选D． 2．【答案】D 【解析】由题意，因为，，， 由正弦定理，可得， 又因为，则，可得，所以或． 故选D． 技能应用： 1．【答案】D 【解析】过点A作AD⊥BD，点D在∠B的一条边上， ∵，因此此三角形无解． 故选D． 先学检测： 1．【答案】C 【解析】由正弦定理，得， 即边长为，故选C． 2．【答案】B 【解析】在中，由A＝45°，C＝60°，c＝3， 由正弦定理得，故选B． 3．【答案】A 【解析】由正弦定理，得，解得， 又，，故选A． 4．【答案】B 【解析】由正弦定理得，所以，所以， ... ...