中考总复习：圆综合复习—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活． 【知识网络】 【典型例题】 类型一、圆的有关概念及性质 1． BC为的弦，∠BOC=130°，△ABC为的内接三角形，求∠A的度数. 【思路点拨】依题意知为△ABC的外心，由外心O的位置可知应分两种情况进行解答. 【答案与解析】 应分两种情况，当O在△ABC内部时， 当O在△ABC外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC的度数为130，则的度数为 360－130＝230,故∠A=115°. 综合以上得∠A=65°或∠A=115°. 【总结升华】 转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决. 举一反三： 【变式】如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ） A． B．或 C． D． 或 【答案】 解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°， 当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°． 故选D． 类型二、与圆有关的位置关系 2．如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π） 【思路点拨】 设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可． 【答案与解析】 解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r， 如图，连接OE、OA， 则OA2-OE2=AE2，即R2-r2=（）2=（）2=4， S圆环=S大圆-S小圆=πR2-πr2，（2分） =π（R2-r2），（3分） ∵R2-r2=（）2=4， ∴S=4π（cm2）． 【总结升华】 此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可． 3．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，，射线PN与⊙O相切于点Q．A,B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s． （1）求PQ的长； （2）当为何值时，直线与⊙O相切？ 【思路点拨】 (1)连OQ,则OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ的长；(2)由直线AB与⊙O相切,先找出结论成立的条件,当BQ等于⊙O的半径时,直线AB与⊙O相切,再根据直线AB与⊙O相切时的不同位置,分类求出的值. 【答案与解析】 解 （1）连接OQ． ∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN, 即． ，，∴ （2）过点作，垂足为． 点的运动速度为5cm/s，点的运动速度为4cm/s，运动时间为s， ∴，．，，∴ ，∴△PAB∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=900 ， ∴四边形为矩形．∴BQ=OC ∵⊙O的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线与⊙O相切． ①当运动到如图1所示的位置时． ． 由，得．解得． ②当运动到如图2所示的位置时． ． 由，得．解得． 所以，当为0.5s或3.5s时,直线与⊙O相切． 【总结升华】 本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 举一反三： 【变式】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 【答案】 （1）证明：连结. 与⊙相切，为切点. 直线是线段的垂直平分线. 是⊙的直径. 与⊙相切. （2） ... ...
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