新教材人教B版数学必修第三册课件：7.2.3 同角三角函数的基本关系式（61张PPT）

课件61张PPT。7.2.3　 同角三角函数的基本关系式　 1.平方关系 (1)公式:sin2α+cos2α=1 (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系 (1)公式:tan α= (α≠kπ+ ,k∈Z). (2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.【思考】 (1)“同角”一词的含义是什么?提示:一是“角相同”,如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如sin215°+cos215°=1,sin2(α+β)+cos2(α+β)=1等. (2)两个公式成立的条件分别是什么? 提示:平方关系对于α∈R都成立;商数关系中公式成 立的条件为:α≠kπ+ ,k∈Z.(3)同角三角函数的基本关系有变式吗?分别是什么? 提示:有;①sin2α+cos2α=1的变形公式有: sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α. ②tan α= 的变形公式有: sin α=cos α·tan α;cos α= .【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)因为sin2 π+cos2 =1,所以sin2α+cos2β=1成 立,其中α,β为任意角.(　　) (2)对任意角θ,sin2 +cos2 =1都成立.(　　) (3)对任意的角α,都有 =tan α成立.(　　)提示:(1)×.由同角三角函数的基本关系式知, sin2α+cos2α=1,且α为任意角. (2)√.在sin2α+cos2α=1中,令α= 可得sin2 + cos2 =1. (3)×.当α= +kπ,k∈Z时就不成立.2.已知α∈ sin α= ,则cos α=(　　)【解析】选A.因为α是第一象限角, 所以cos α= 3.化简(1+tan2α)·cos2α等于 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.原式= ·cos2α= cos2α+sin2α=1.4.已知sin α+cos α= ,则sin αcos α= _____.?【解析】因为sin α+cos α= , 所以(sin α+cos α)2= . 所以sin2α+2sin αcos α+cos2α= . 所以1+2sin αcos α= .所以sin αcos α=- . 答案:- 类型一　利用同角三角函数的关系求值 【典例】1.若sin α=- ,且α为第三象限角,则 tan α的值等于 (　　)2.已知sin α+cos α=- ,0<α<π. (1)求sin αcos α的值. (2)求sin α-cos α的值.【思维·引】1.根据sin α=- 和sin2α+cos2α=1 列方程组求tan α. 2.已知sin α+cos α=- ,两边平方再利用sin2α +cos2α=1,即可求出sin αcos α,再把sin α- cos α两边平方即可,注意角α的范围.【解析】1.选C.因为α为第三象限角, 所以cos α= 2.(1)由sin α+cos α=- 得(sin α+cos α)2= , sin2α+2sin αcos α+cos2α= ,sin αcos α= - .(2)因为0<α<π,sin αcos α<0, 所以sin α>0,cos α<0?sin α-cos α>0. sin α-cos α= 【内化·悟】 1.已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值常用 哪些公式? 提示:根据已知条件和平方关系sin2α+cos2α=1;商数 关系 =tan α(α≠kπ+ ,k∈Z).2.已知sin α±cos α的值时,怎样求sin αcos α的值? 提示:已知sin α±cos α的值,求sin αcos α的值时,常用平方关系整体构造求值.解题时一定特别注意角的取值范围.【类题·通】 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值 的问题,我们可利用平方关系或商数关系求解,其关 键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1± 2sin αcos α的等价转化,是分析解决问题的突破 口.【习练·破】 (1)已知tan α= ,且α是第三象限角,求sin α, cos α的值. (2)已知sin αcos α=- ,且0<α<π,求tan α的 值.【解析】(1)由tan α= 得sin α= cos α,① 又sin2α+cos2α=1,② 由①②得 cos2α+cos2α=1, 即cos2α= .又α是第三象限角, 故cos α= (2)方法一:因为sin αcos α=- ,sin2α+cos2α=1, 所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2× 所以(sin α+cos α)2= ,所以sin α+cos α= ± . 同理(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= ... ...