第22讲 周期问题 【知识概述】 在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现,例如,人的生肖:鼠、牛、虎、兔、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断出现的；每周有七天，从星期日开始，到星期六结束，总是以七天为一个循环不断重复出现的。我们把这种特殊的规律性问题称周期问题。 解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。 【典型例题】 例1 有以下一些几何图形的排列，○□□◎◎◎○□□◎◎◎… （1）第200个图形是什么？ （2）如果要使其中有100个◎，则至少有多少个图形？ 【思路导航】通过条件找规律发现“○□□◎◎◎”在反复出现，所以该题的周期是6。（1）第200个图形是有33组余2个图形，即是□。（2）因为每隔周期里只有3个◎，要有100个◎，至少需要100÷3 ＝33 … 1，即是33个周期还差1个，就是说还要第34周期的前4个图形。 解：（1）200÷6＝33 … 2 答：第200个图形是□。 （2）100÷3 ＝33 … 1 33×6＋4＝202（个） 答：要使其中有100个◎，则至少有202个图形。 我 最 棒 我 最 棒 我 最 棒 … 奥 数 好 玩 奥 数 好 玩 奥 … 例2 如图，将下面的每一列上、下两个字组成一组,例如第一组为(我奥),第二组为(最数),那么第235组为什么数呢? 【思路导航】如果从表格上找规律，该题的周期是3、4的最小公倍数为12，且列出一个周期的项，比较繁。我们可以分行找规律，求出该行第235组是什么，在将它们组合。 解：235÷3 ＝78… 1（我） 235÷4 ＝58… 3（好） 答：所以第235组是（我好） 例3 求的个位数字为多少?并说明理由。 【思路导航】更具题中的算式是1993个3相乘的结果肯定是一个很大的数字，而且也是不可能计算出来的，但本题只要求个位的数字。先试找找规律：3的个位是3 , 3×3的个位是9，3×3×3的个位是7，3×3×3×3的个位是1，3×3×3×3×3的个位是3，……知道若干个3相乘的个位数是3，9，7，1，3，…… 解：找规律 3 个位是3 3×3＝9 个位是9 3×3×3＝27 个位是7 3×3×3×3＝81 个位是1 3×3×3×3×3＝243 个位是3 …… 所以1993÷4 ＝498 … 1 答：的个位数字为3。 例4? 有一列数如下：4、5、9、14、23……问这列数的第1999个数除以3，余数是几？ 【思路导航】看看数列除以3的余数是多少，找规律。余数分别是1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1……发现数列余数的周期是（1，2，0，2，2，1，0，1），根据周期问题有： 解：1999÷8 ＝249 … 7 答：这个数列第1999个数除以3的余数是0，既能被3整除。 例5 今年的6月1号是星期五，再过80天是星期几呢？那么明年的6月1是星期几呢？那么2014年的6月1是星期几呢？ 【思路导航】 由于每个星期有7天，以今年的6月1日为周期的第1天，周期是星期五、星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四，根据周期问题的规律有： 解：（80＋1）÷7 ＝11 …4 所以再过80天是星期一。 （365＋1）÷7 ＝52 …2 所以明年的6月1日是星期六。 （365＋366＋365＋365＋1）÷7 ＝208 …6 所以2014的6月1日是星期三。 例6 将化成小数后，（1）小数点后第200个数是几？（2）小数点后300位的数字和是多少？ 【思路导航】因为=0.142857142857…，是一个无限循环小数142857循环，周期是6。 解：（1）200÷6 ＝33 …2 所以化成小数点后第200个数是4； （2）300÷6 ＝50 （1＋4＋2＋8＋5＋7）×50＝1350 所以小数点后300位数字的和是1350。 【我能行】 1．有同样大小的红、白、黑三种珠子共100个，按照3红2白1黑的要求不断地排下去…… (1)第52个是 ... ...
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