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课件网) 复习 上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间. (1) 加法法则及减法法则 平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律 加法交换律及结合律. 两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的. 因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律. 借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律． 1. 空间向量数乘运算的定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算. （1）结果仍然是一个向量; （2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同; 当λ<0时，λa与a方向相反; 当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的 |λ|倍. 2.数乘运算的运算律 显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 （1） λa与a之间是什么关系？ （2） λa与a所在直线之间的关系？ 对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似. 3.共线向量（或平行向量）的定义 表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors） 记作 （1）向量平行与直线平行的比较; （2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a与b ,如果 ,那么a与b有什么相等关系?反过来呢? 零向量与任何向量平行 （1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线; （2）当我们说 a // b时，也具有同样的意义. 4.共线向量基本定理 对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使 a = λb （1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一; （2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量） 5.共线向量基本定理的推论 如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于空间任意一点像O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 OP = OA + ta. (1) 其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector） 在l上取AB=a，则(1)式可化为 说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. 6.共面向量定义 平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）. 空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的. 7.共面向量的定理 如果两个向量a、b不共线，则向量 p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使 p = x a + y b 8.共面向量的定理的推论 空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. M 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式 （其中x+y+z=1）的四点P、A、B、 C是否共面？ 原式可以变形为 解答 所以，点P与点A，B，C共面. 如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 求证：四点E、F、G、H共面. 分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明. 证明:因为 所以 OE=kOA，OF=kOB， OG=kOC，OH=kOD. 由于四边形ABCD是平行四边形，所以 AC=AB+AD. 解答 由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面. 因此 1.空间向量的数乘运算. 2.空间向量的数乘运算的运算律. 满足分配律及结合律. 3.共线向量与共面向量 共面 ... ...
