单位圆与三角函数线 教学目标 核心素养 1．了解三角函数线的意义。（重点） 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。（难点） 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养。 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养。 【教学过程】 一、问题导入 1．正弦、余弦正切的定义比较抽象，你能给出它们的一个直观表示吗？ 2．这节课我们就来学习三角函数的直观表示———三角函数线。 二、新知探究 1．单位圆和三角函数线的概念 【例1】（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是（ ）。 A．总有MP＋OM＞1 B．总有MP＋OM＝1 C．存在角α，使MP＋OM＝1 D．不存在角α，使MP＋OM＜0 （2）分别做出π和－π的正弦线、余弦线和正切线。 【答案】（1）C 【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C。 （2）解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM ⊥ Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sinπ＝MP，cosπ＝OM，tanπ＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为。 ②同理可做出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙。 sin＝M1P1， cos＝O1M1， tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为。 [教师小结] （1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线。 （2）作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来做正切线。 2．三角函数线的综合应用 [探究问题] （1）为什么在三角函数线上，点P的坐标为（cos α，sin α），点T的坐标为（1，tan α）呢？ 【提示】由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是（cos α，sin α）；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为（1，tan α）。 （2）如何利用三角函数线比较大小？ 【提示】利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1）角的位置要“对号入座”；（2）比较三角函数线的长度；（3）确定有向线段的正负。 【例2】已知α∈，试比较sinα，α，tanα的大小。 [思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决。 【解】如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM ⊥ x轴，PN ⊥ y轴，作AT ⊥ x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义， 得sin α＝MP，tan α＝AT， 又α＝的长， ∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α， S扇形AOP＝··OA ＝·＝α， S△AOT＝·OA·AT＝tan α。 又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT， ∴sin α＜α＜tan α。 [教师小结]三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题。 三、课堂总结 1．单位圆 （1）一般地把半径为1的圆叫做单位圆。 （2）角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。 2．三角函数线 3．应用三角函数线比较大小的策略 ①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值。 ②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向。 四、课堂检测 1．已知α ... ...
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