【备考2020高频考点剖析】专题3 代数之规律探索问题-试卷解析版

备考2020中考数学高频考点剖析 专题三 代数之规律探索问题 考点扫描聚焦中考 规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等，培养学生的思维更重要，大部分为中考压轴题比较难，需要超强的思维能力。【来源：21·世纪·教育·网】 考点剖析典型例题 数字规律 例1将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 图1 则2019在第_____行． 【解题分析】 (1)观察发现，前5行中最大的数分别为_____，_____，_____，_____，_____； (2)可知第n行中最大的数是_____，n＝44时，最大数为_____；n＝45时，_____．因此2019在第_____行 【分析】 解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等． 【解析】(1)1　4　9　16　25　 (2)n2　1936　最大数为2025　45 [答案] 45 数式规律 例2我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等． (1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式； (2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1. 图2 【答题分析】 (1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？ (2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？ 【分析考点】 数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键． 【答案解析】(1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. (2)(a＋b)5，a＝2，b＝－1. 解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. (2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1. 图形坐标 例3（2019?营口）如图，点A1（1，）在直线l1：y=x上，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2：y=x于点B1，A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第n个等边三角形AnBnCn的面积为　 　．（用含n的代数式表示） (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 【分析】由点A1的坐标可得出OA1=2 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，根据直线l1、l2的解析式结合解直角三角形可求出A1B1的长度，由等边三角形的性质可得出A1A2的长度，进而得出OA2=3，通过解直角三角形可得出A2B2的长度，同理可求出AnBn的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形AnBnCn的面积． 【答案解析】解：∵点A1（1，）， ∴OA1=2． ∵直线l1：y=x，直线l2：y=x， ∴∠A1OB1=30°． 在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°， ∴A1B1=OB1， ∴A1B1=． ∵△A1B1C1为等边三角形， ∴A1A2=A1B1=1， ∴OA2=3，A2B2=． 同理，可得出：A3B3=，A4B4=，…，AnBn=， ∴第n个等边三角形AnBnCn的面积为×AnBn2=． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及等边三角形的性质，通过解直角三角形及等边三角形的性质，找出AnBn=是解题的关键． 例4下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为_____，第2020个图 ... ...