第十八讲 奇数与偶数 【趣题引路】 桌上放着七只杯子，杯口全朝上，每次翻转四个杯子.问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下？ 解析：这不可能.我们将口向上的杯子记为“0”，口向下的杯子记为“1”.开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数.一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由1变为0，改变了奇偶性.每一次翻动四个杯子，因此，七个数之和的奇偶性仍与原来相同.所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数.而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数.因此，不可能. 【知识延伸】 整数可以分为奇数和偶数两类. 在整数中能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，通常用2k表示偶数，用2k+1（或2k-1）表示奇数，其中k为整数. 由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性.通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法. 运用奇偶分析法解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质. （1）奇数偶数； （2）奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数； （3）若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数； （4）若a是整数，则a与、-a、a”有相同的奇偶性； （5）设a、b是整数，则a+b、a-b、、都有相同的奇偶性； （6）偶数的平方能被4整数，奇数的平方被8除余1； （7）两个连续的整数中，必有一个奇数、一个偶数. 例1 在1，2，3…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数？ 解析：两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可. 因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3.…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而为奇数，因此，所求代数和为奇数. 点评：抓住“a+b与a-b奇偶性相同”，通过特例1+2+3+…+2005得到答案. 例2 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的良好祝愿.“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数.”这句话正确吗？试证明你的结论. 解析：用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况.这句话是正确的.下面证明之. 若联欢会上的人数为偶数，设为2m（m为整数），则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即（2m- .那么，贺卡总张数为，显然是偶数. 若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1（m为整数），则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m，为偶数.贺卡总张数为（2m+1）·2m，仍为偶数. 故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的. ?? 点评：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一. 例3 桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上？并说明理由. 解析：若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬币奇数次.因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数，现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993==1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上. 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993==1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次.而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上，按如下的方法进行翻动： 第1次翻动全部1993枚， 第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚， 第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚， 第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚. 这样，正好每枚硬币被翻动了997 ... ...
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