等差数列专题 一、等差数列知识点 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p. 3．等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝. 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 5．等差数列的前n项和公式 若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 7．最值问题 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 回顾： 1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（ ） A． B． 1 C． D． ﹣1 2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ ） A．以7为首项，公差为2的等差数列 B． 以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列 D． 不是等差数列 3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ ） A． 23 B． 24 C． 25 D． 26 4．两个数1与5的等差中项是（ ） A． 1 B． 3 C． 2 D． 5．如果数列{an}是等差数列，则（ ） A． a1+a8＞a4+a5 B． a1+a8=a4+a5 C． a1+a8＜a4+a5 D． a1a8=a4a5 1:等差数列的通项与前n项和 已知等差数列的某些项，求某项 【例1】已知为等差数列，，则 解：方法1： 方法2：， 方法3：令，则 练习：1、已知为等差数列，（互不相等），求. 2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数. 2：已知前项和及其某项，求项数. 【例2】已知为等差数列的前项和，，求 解：设等差数列的首项为，公差为，则 练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数. 4.已知为等差数列的前项和，，则 . 3：求等差数列的前n项和 【例3】已知为等差数列的前项和，. （1） ； ⑵求； ⑶求. 解：， 当时，， 当时，， 当时，， . 由，得，当时，；当时，. （1）； ⑵ ； （3）时，， 当时， 练习：5、已知为等差数列的前项和，，求. 2 ：证明数列是等差数列 方法总结： 1、定义法：（，是常数）是等差数列； 2、中项法：()是等差数列 ； 3、通项公式法：（是常数）是等差数列； 【例4】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列. 解：方法1：设等差数列的公差为，， （常数） 数列是等差数列. 方法2：， ， ， 数列是等差数列. 练习：6、设为数列的前项和， （1） 常数的值； （2） 证：数列是等差数列. 3 :等差数列的性质 【例5】1、已知为等差数列的前项和，，则 ； 2、知为等差数列的前项和，，则 . 解：1、； 2、方法1：令，则 . ，， ； 方法2：不妨设 . ， ； 练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 8. 设、分别是等差数列、的前项和，，则 . 4：等差数列综合 【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，，其前项和为 （1）数列、的通项公式； ⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值. 解： ... ...
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