第十四讲 圆内接四边形与四点共圆 【趣题引路】 著名的“九点圆”是由欧拉于1765年了解到的.后来又由年仅22岁的费尔巴赫（1800-1834）于1822年重新发现，并称之为九点圆，这九个点是（如图14-1）：三角形的三条边的中点、、，三条高线的垂足、、以及各顶点到垂心距离的中点、、. 利用等腰梯形的四个顶点共圆的知识可得到三组四点、 、、，、、 、，与、、 、均共圆于、、.故、、、、、六点共圆. 在,和中，同理可证、、也同圆于上面六个点所共的圆.因此，、、、、、、、、九点共圆. 我们知道，任何三角形都有内切圆、外接圆、旁切圆等，还有鲜为人知的五点圆、第二莱莫恩六点圆、泰劳（Taylor）六点圆，七点圆、富曼八点圆等等. 【知识延伸】 圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形.实际上，在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来.然后再借助圆的性质得到要证明的结论.确定四点共圆的办法主要有： 1.诸点到某定点的距离相等，则诸点在同一圆周上. 2.若四边形对角互补或有一个外角等于它的内对角，则这四点共圆. 3.同底同侧的等角的三角形的各顶点共圆；同斜边的直角三角形的各顶点共圆. 4.若直线与相交于，而且,则共圆. 要证多点共圆，一般根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上. 例1 已知，四边形内接于圆，连对角线、.求证： 证明 作,交于点，（如图14-2）.由于,～ , 即 ① , ～,, 即 ② ①+②,得 点评 此题就是著名的托勒密（Ptolemy）定理，即“圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和”.它综合运用圆和相似形的知识，证明线段的积、差，也揭示了圆内接四边形的一个独特的性质. 更推过一些，便可得到：对于任意凸四边形，都有,其中 等号当且仅当四边形内接于圆时成立. 托勒密定理的逆命题也成立，即“在凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和时， 此四边形内接于圆”.你能证明吗？ 例2 已知：如图14-3，设四边形满足条件,求证：A、B、C、D四点共圆. 证明 作,,于是～, ,即 ① ② , ～,, ,即,③ ①+③,得. （已知条件） 在上，与重合. , 四点共圆. 点评 这个逆定理也是证明四点共圆的重要依据. 例3 已知，如图14-4，是的外接圆上一点，由向各边、、引垂线、、. 求证：三个垂足、、共线. 证明 连结、、、. ,、、、四点共圆. ， ,、、、四点共圆. ,、、、四点共圆, 成一条直线，即、、三点共线. 点评 此题就是“西摩松线”，即从外接圆上任一点到三边所作垂线的垂足在同一条直线上，简称“西摩松定理”.它的逆命题也成立.即从一点向的三边（或它们的延长线）作垂线，若三个垂足、、在同一条直线上，则点在的外接圆上.证明如下： 如图14-5，和都是直角，、、、四点共圆, ,① 和都是直角，、、、四点共圆, ,② 由①、②得,故、、、四点共圆,即在的外接圆上. 例4 已知：四边形ABCD内接于圆O，对角线AC 与BD 相交于M，如图14-6，求证： 证明 ,, , 即 点评 本题利用两个三角形面积之比的性质来证明，对拓展证题思路，灵活运用所学的基础知识解决问题，大有益处，本题的结论可作定理运用. 【好题妙解】 佳题新题品味 例1 如图14-7，过正方形ABCD的顶点A作的角与CB、DC的延长线分别交于E、F 两点，即,DB、AE的延长线交于点； DB、AF交于点；的延长线交 DF于点 P ，连接AO 、FE的延长线交AO 于点H ，又,EF交于点,连结.由以上条件，你能推出哪些结论？（不再标注任何字母，不再添加任何辅助线） 解析 首先，如图14-7，，即有、、B、四点共圆； 同样，，即有、、F、四点共圆； 由上述四点共圆知 ,所以、、F 、四点共圆. 又在中，,E为的垂心，这样六个四点共圆相继出现，即 （A、H、E、）（E、H、 ... ...
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