第十五讲 直线和圆的位置关系 【趣题引路】 唐代著名诗人王之涣有一首著名的《登鹳雀楼》诗： 白日依山尽，黄河入海流； 欲穷千里目，更上一层楼. 诗里所说的“千里”泛指远处，是一种夸张的说法，但如果我们有兴趣，也不妨来计算一下，要在一幢高楼上看到1000里（500km）外的景物，这幢楼至少有多高？你会解这道题吗？ 如图15-1 解析 如图15-1，设O为地球中心，表示地面，当C离点A 500km，即长为500km.当然人站在点A是无法看到点C处的景物，因此需要登上AB这“层”楼到B处.这时，人的视线BC在点C处与相切，AB即为楼的最小高度. 因为，OA是地球的半径，约等于6370km，所以只要计算出OB就可以了. 因为BC是的切线，所以∠BCO=90°， 在Rt△OBC中， 所以 以上计算表明，这“层”楼至少要20km高，远远超过世界最高峰———珠穆朗玛峰，建立这样高的楼当然是不现实的. 【知识延伸】 直线和圆的位置关系：相离、相切、相交，以及这三种情况下圆心到直线的距离d和半径r之间的数量关系中，重点是直线和圆相切的关系. 圆的切线的判定和性质主要涉及四个知识点：（1）切线；（2）切点；（3）圆心；（4）垂直.这四个知识点中满足其中的三个，就可以推得另外一个.如判定定理：过半径的外端点，垂直于半径的直线是圆的切线.这里的半径外端点就是切点，只不过在没有判定切线之前，无法确定该点是不是切点.这里的半径就是连结圆心，切线的线段，即满足了（2），（3），（4）三个要点，可判定其为切线；再如，性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，即满足了（1），（2），（3）三个知识点，可判定垂直关系. 圆的切线的性质及判定十分重要，应用非常广泛. 例1 如图15-2，已知△ABC内接于O，∠BAE=∠C，AB为弦，证明：AE与O相切于点A. 如图15-2 证明 作直径AF，连CF，则∠ACF=90°，即∠ACB+∠FCB=90° ∠BAE=∠ACB，∠FAB=∠FCB， ∠EAF=90°. 故EA与O相切于点A. 点评 这是弦切角定理的逆定理，此定理是判定切线的又一种巧妙、有效的方法，可叙述为：若过三角形一顶点的直线（在三角形外）与一边组成的角等于这边的对角，则这条直线与这个三角形的外接圆切于这个顶点. 例2 如图15-3，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点C、E，交AB于D.不添加任何点和线，请写出图中所有的垂直关系；写出图中所有的全等三角形，图中有相似三角形吗？若有，请全部写出. 如图15-3 线段的垂直：OAPA；PBOB；ABPE； （2）全等三角形：△PAO≌△PBO，△PAD≌△PBD，△ADO≌△BDO. （3）相似三角形：△OAP∽△ODA∽△ADP∽△OBP∽△ODB∽△BDP. 点评 由PA、PB为O的两条切线构成的这一基本图形蕴含着十分丰富的内涵，除以上的关系外，由对称的性质，不难发现其中还有许多线段、角、弧的相等关系和倍数关系，还有诸多的线段成比例关系：（1）（2）（3）（其中AD为Rt△OAP斜边上的高）.由于这些关系的存在，使得由这一基本图形或其变式图形在证明中有着十分灵活的运用. 【好题妙解】 佳题新题品味 例1 如图15-4，线段AB上有动点P，以BP为直径作O，过A作O的切线AT，切点为T，过P作O的切线与AT，BT的延长线分别交于C、D. （1）当∠B=40°时，求∠TCD的度数； （2）当△TDC是等边三角形时，求AP：BP. 如图15-4 解析 （1）连结OT，则OTAT， ∠OTA=90°. DP是O的切线， ∠DPB=90°. ∠A=∠A， Rt△CPA∽Rt△OTA，∠PCA=∠TOA， ∠TOA=2∠B， ∠TCD=∠PCA， ∠TCD=2∠B=80°. △TDC是等边三角形， ∠D=∠TCD=60°，Rt△BPD∽Rt△APC， AP：BP=CP：PD. 连TP，∠BTP=∠PTD=90°. △TDC是等边三角形，∠TPC=30°，∠PTC=30°， TC=DC=CP，CP：PD=1：2， AP：BP=1：2 点评 在解题时 ，要认真注意题设条件，并由题设联想有关定理，如遇到直径可联想到它所对的圆周角是 ... ...
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