5.1.2 垂线 第1课时 垂线 第2课时 垂线段 情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣 复习导入 如图5-1-18,观察图形并填空: 图5-1-18 (1)如图①所示,直线AB与直线CD相交于点O,其中对顶角有 2 对,分别为 ∠AOD和∠BOC,∠AOC和∠BOD ;邻补角有 4 对,分别为 ∠AOD和∠AOC,∠AOC和∠BOC,∠BOC和∠BOD,∠AOD和∠BOD .? (2)图①中,当直线AB绕点O逆时针旋转到∠AOC=90°时(如图②),你能求出其他角的度数吗?此图形有什么特点?此时两直线有什么关系? [说明与建议] 说明:这节课所学习的垂线是在上节学习相交线知识的基础上进行的,垂线是相交线的特殊情况.通过对相交线的复习引出本课内容,体现由一般到特殊的认识过程.建议:通过学生画图、旋转相交线模型等方式形象直观地展现两直线相交的特殊情况,通过对特殊情况的分析归纳出垂线的概念及特征. 情景导入 大家都看到过跳水比赛,下面几幅图片中是几种不同的入水方式,你知道哪个图片中运动员获得的分数最高吗? 图5-1-19 在运动员获得分数最高的图片中,你知道运动员的身体和水面之间的关系吗?这节课我们将要学习有关这种关系的知识. [说明与建议] 说明:在网上搜集相关跳水视频或图片,将运动员的身体看成直线,提出疑问:怎样入水成绩最好,体现这种位置关系在生活中的应用.建议:可采取慢放的方式,让学生能够看清运动员入水时的瞬间,体会“垂直”含义,从而得出垂直的概念及特征. 教材母题———第9页习题5.1第13题 直线AB,CD相交于点O. (1)OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线.画出这个图形. (2)射线OE,OF在同一条直线上吗? (3)画∠AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系? 【模型建立】 两直线相交,对顶角的角平分线互为反向延长线,即两条射线在同一条直线上;邻补角的角平分线互相垂直.这个数学模型在解决几何图形的相关问题时有着重要的意义. 【变式变形】 1.已知:如图5-1-20所示,直线AB,CD,EF相交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.[答案:∠DOG=55°] 图5-1-20 2.如图5-1-21,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=21°,求∠AOM的度数.[答案:∠AOM=48°] 图5-1-21 图5-1-22 3.如图5-1-22,直线AB,CD,EF相交于点O,EF⊥AB,OG为∠COF的平分线,OH为∠DOG的平分线,若∠AOC∶∠COG=4∶7,求∠DOF,∠DOH的大小. [答案:∠DOF=110°,∠DOH=72.5°] [命题角度1] 利用三角尺作已知直线(线段、射线)的垂线 根据题目的要求,选择适当的工具进行操作,用三角尺作垂线:让三角尺的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线,简单说成“一贴,二靠,三画”.用量角器画垂线:让量角器的0刻度线与直线重合,点位于90度线上,画出90度线所在的直线即可.需要注意:如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上. 例 如图5-1-23,∠ABC为钝角. (1)过点C作AB的垂线; (2)过点B作AC的垂线; (3)过点A作BC的垂线段. 图5-1-23 解:如图所示.(1)CF为过点C垂直于AB的直线,垂足F在AB的延长线上. (2)BE为过点B垂直于AC的直线,垂足E在线段AC上. (3)线段AD即为点A到BC的垂线段. [命题角度2] 考查垂线的唯一性 对于垂线性质的考查往往以选择题或判断题的形式出现,解决此类问题的关键在于理解垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.理解此性质在于理解“有且只有”和“过一点”的含义:“有且只有”中,“有”指确定性,“只有”指唯一性;“过一点”的点既可以在直线外也可以在直线上. 例 下列说法正确的有 (B) ①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在同一平 ... ...
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