（新教材）高中数学人教A版必修第二册 6.2.3　向量的数乘运算（课件:31张PPT+学案+训练）

6．2.3　向量的数乘运算 考点 学习目标 核心素养 向量数乘运算的定义及运算律 理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律 数学抽象、直观想象 向量共线定理 掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线 逻辑推理 问题导学 预习教材P13－P16的内容，思考以下问题： 1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 1．向量的数乘的定义 一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0． ■名师点拨 λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝(λμ)a． (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa． (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 3．向量的线性运算及向量共线定理 (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． (2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． ■名师点拨 若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线． (1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa. (2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　) (2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(　　) (3)若ma＝mb，则a＝b.(　　) (4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　　　　　　　　　 B．a C．a－6b　　　 D．a－8b 答案：D 若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　) A．b＝2a B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b 答案：A 在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形的形状是_____． 答案：梯形 向量的线性运算 　(1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． 【解】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c ＝－a－c. ③原式＝ ＝ ＝a－b. (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j ＝－i－5j. 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　 1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝_____． 解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0. 答案：0 2．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x. 解：因为2x－a－b－c＋x＋b＝0， 所以x－a＋b－c＝0， 所以x＝a－b＋c， 所以x＝a－b＋c. 向量共线定理及其应用 　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 【解】　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5. 所以，共线，且有公共点B， 所以A、B、D三点共线． (2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线， 所以存在实数 ... ...