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课件网) 类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等关系. 把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。 解： 展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 而(ad-bc)2≥0, 因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2 上式(1)是本节课所要研究的柯西不等式. 定理1（二维形式的柯西不等式） 若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立. 对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。 设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图） 根据向量数量积的定义，有 α.β=│α││β│cos θ 用平面向量的坐标表示不等式(2)得： 所以 │α.β│=│α││β││cosθ│ 因为│cosθ│≤1, 所以│ α.β │≤│ α ││ β │ 定理2（柯西不等式的向量形式） 设α，β是两个向量，则│α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立. 试从不等式(1)推导不等式(2)，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。 如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小关系吗？ 定理3(二维形式的三角不等式) 能用柯西不等式证明吗？ 不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到： 请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。 虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。 已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3) 根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2 在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算. 利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。 问题中a+b=1这个条件，由于常数1的特殊性，用a+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值. 1.二维形式的柯西不等式的代数形式. 若a,b,c,d都是实数， 则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立. 2.二维形式的柯西不等式的向量形式. 设α，β是两个向量， 则│α .β│≤│α││β│, 当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立. 3.二维形式的柯西不等式的应用.
