【备考2020高频考点剖析】专题33 动态几何之最值问题试卷（解析版）

备考2020中考数学高频考点剖析 专题三十三 动态几何之最值问题 考点扫描聚焦中考 动态几何中的最值问题，是每年中考的必考内 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)容之一，考查的知识点包括包括单动点形成的最值问题、双（多）动点形成的最值问题、线动形成的最值问题和面动形成的最值问题。四个方面，我们从四个方面进行动态几何中最值问题的探讨： （1）包括单动点形成的最值问题， （2）双（多）动点形成的最值问题， （3）线动形成的最值问题， （4）面动形成的最值问题。 考点剖析典型例题 例1（2019湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为　 　．21cnjy.com (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；D5：坐标与图形性质． 【分析】作N关于OA的对称点N′，连接N′ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P， 则此时，PM+PN最小， ∵OA垂直平分NN′， ∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°， ∴△NON′是等边三角形， ∵点M是ON的中点， ∴N′M⊥ON， ∵点N（3，0）， ∴ON=3， ∵点M是ON的中点， ∴OM=1.5， ∴PM= (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)， ∴P（ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)， (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）． 故答案为：（ (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)， (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）． (?http:?/??/?www.21cnjy.com?) 例2（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A.B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ． 解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB=S矩形ABCD，∴ AB?h=AB?AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE===4，即PA+PB的最小值为4． 故答案为：4． 例3如图： （1）观察猜想： 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探究证明： 在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断． （3）拓展延伸： 如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC= ，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值． 【考点】几何图形的动态问题 【解析】【解答】解：（1）①如图 ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE=BD，∠ACE=∠B， ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°， ∴BD⊥CE； 故答案为：CE=BD，CE⊥BD． 【分析】（1）由旋转可知对应边、对应角相等，从而可以判断CE与BD的数量与位置关系；（2）与（1）的思路一致，先通过旋转的性质证得△BAD≌△CAE，从而可以判断CE与BD的数量与位置关系；（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N， 由旋转的性质证得Rt△AMD≌Rt△ENA，从而可知△AMC为等腰直角三角形，进而可知四边形MCEN为平行四边形为矩形，即可知Rt△AMD∽Rt△DCF，利用对应线段成比例可用DC长x表示出CF的长度，再结合二次函数的顶点求得最值即可. 【解析】（1）CE=BD；CE⊥BD （2）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得 ... ...