特殊的平行四边形的性质与判定 【学习目标】 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角以及对角线的性质。 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的证明。 【学习重难点】 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等及对角线互相平分的性质，以及性质的应用。 2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算。 【学习过程】 一、自主学习 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是 四边形。 你能说出平行四边形的定义吗？ （1）定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形。 （2）如右图：平行四边形用符号“ ”来表示。读作 。 2．平行四边的定义： ①用文字语言表示为： （如图是图形语言） 在四边形ABCD中，AB平行于DC，AD平行于BC，那么四边形ABCD是 。 ②用符号语言表示为： ∵AB//DC ，AD//BC ，∴四边形ABCD是 。（判定）；反过来： ∵四边形ABCD是 。 ∴AB//DC， AD//BC（性质）。 注意：平行四边形中对边是指无公共 的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共 的边，邻角是指有一条公 的两个角。而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角。 所以我说定义很特殊：既可以当 用，又可以当用 。 3．平行四边的性质： 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的一般性质（如内角和为360°）和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们进行探究。 我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，度量它的边和角，发现平行四边形的对边 ，对角 ，邻角 （1）证明，如图：∵AB∥CD，AD∥BC∴∠ +∠ BAD＝180°，∠ +∠ =180°∴平行四边形中，相邻的角互为补角。 （2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等。 下面证明这个结论的正确性。 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形 即可得到结论。 （作对角线是解决四边形问题常用的 线，通过作对角线，可以把四边形的问题转化为 形的问题来解决。） 证明：连接AC，如图 ∵AB∥ ，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠ ＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）。 ∴AB＝ ， ＝AD，∠ ＝∠D．又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到：用文字语言表示为 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等。 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等。 用符号语言表示为： ∵如图在ABCD中 ∴AB＝ ，CB＝AD，∠B＝∠ ，∠ A＝∠C． 二、例题分析 例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。 分析：要证AF=CE，需证△ ≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠ =∠B ，AD= ，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得 =DF。由“边角边”可得出所需要的结论。 证明。在ABCD中，∵AB=CD，又∵ = ∴BE=DF。 ∵CB＝AD，∠B＝∠D ∴△ ≌△ ∴ 。 三、随堂练习 1．填空： （1）在ABCD中，∠A=，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度。 （2）如果ABCD中，∠A———B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度。 （3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm。 2．如图4．3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF。 【达标检测】 1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）。 （A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是 2．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE。 【证明】 ∵AD∥BC ∴∠DBC=∠ ，又∵BD平分∠ABC． ∴∠ =∠ADB，∴ = ∴AB=AD． 又∵AD∥BC，AE∥CD ∴四边形AECD是 ∴AD=CE， ... ...
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