7.2.2 复数的乘、除运算 课标要求 素养要求 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 通过本节课的学习体会数学抽象及数学运算素养. 教材知识探究 两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？ 问题 多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？ 提示 (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd. 1.复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 2.复数的除法运算 复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同 设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，则＝＝＝＋i. 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 教材拓展补遗 [微判断] 1.复数加减乘除的混合运算则是先乘除，再加减.(√) 2.若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(×) 3.＝－i.(√) 4.＝－i.(×) 提示 1.复数的混合运算与实数的混合运算的顺序一致. 2.当z1＝1且z2＝i也满足z＋z＝0. 3.＝＝－i. 4.＝＝＝i. [微训练] 1.若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝( ) A.1 B. C.2 D. 解析 z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝. 答案 B 2.已知i是虚数单位，则＝( ) A.1－2i B.2－i C.2＋i D.1＋2i 解析 ＝＝＝1＋2i，故选D. 答案 D 3.如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( ) A.1 B.－1 C. D.－ 解析 ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R， ∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0， 得m3＋1＝0，即m＝－1. 答案 B [微思考] 1.怎样进行复数的混合运算？ 提示 三个或三个以上的复数相乘，可按照从左到右的顺序或利用结合律运算，复数的混合运算与实数的混合运算法则一样. 2.怎样进行复数的乘法运算？ 提示 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可. 题型一 复数代数形式的乘法运算 【例1】 计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 规律方法 复数代数形式的乘法运算常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). (3)(1±i)2＝±2i. 【训练1】 若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞) 解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)， 又此点在第二象限，所以解得a<－1. 答案 B 题型二 复数代数形式的除法运算 【例2】 (1)＝( ) A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( ) A.3＋5i B.3－5i C.－3＋5i D.－3－5i 解析 (1)＝＝＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. 答案 (1)D (2)A 规律方法 (1)进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，＝－i，(1＋i)2＝2i ... ...
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