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课件网) 专项突破七圆中的证明与计算 类型一:与全等三角形有关 (针对贺州:2017125;河池:201925,201725;梧州:2017T23,2016T22;贵港:201724,2015T24;来宾: 2017T25;玉林:2017T23,2016T23,2015123;柳州:2015125;桂林:2015125.主要考查利用切线的性质和判定与 全等三角形的知识结合进行有关的证明和计算) 奥例精析。 C例D(2019·河池)如图,五边形 ABCDE内接于 ⊙O,CF与⊙0相切于点C,交AB延长线于点F (1)若AE=DC,∠E=∠BCD,求证:DE=BC; (2)若OB=2,AB=BD=DA,∠F=45°,求CF的长 【思路点拨】(1)要证“DE=BC”,就要证明 “△ADE≌△DBC”,在⊙O中,由“AE=DC”可推出 ∠ADE=∠DBC,再结合其他题设条件,利用“AAS”证 明即可;(2)由于“CF与⊙O相切于点C”,连接半径 OC,则有OC⊥OF,结合“∠F=450”,反向延长OC交 AB于点G,则可把要求解的CF的值转化为求CG的 值,再利用等边三角形的性质,过0作OH⊥AB,最后 通过解相关直角三角形来解决 (1)证明::五边形 ABCDE 内接于⊙O,且AE=DC AE= DC E ∠ADE=∠DBC 又∠E=∠BCD, G H B F △ADE≌△DBC(AAS), DE= BC (2)解:如图,连接OC,反向延长OC交AB于点G CF是⊙O的切线, ∠OC⊥CF,即∠GCF=90° 又∴∠F=45°,∴∠CGF=45°.:CG=CF 过点O作OH⊥AB于点H ∴AB=BD=DA,∴∠ABD=60° ∠OBH ∠ABD=30° 在Rt△BOH中,OH=OB·sin∠OBH=OB·sin30° 2×=1.则OG=2OH CG=OG +OC= 2+2. CF=v2+2 ③针对训练 如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径 的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E (1)证明:OD∥BC; (2)若tan∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切 D B (1)证明:连接OC 在△OAD和△OCD中, OA=OC AD=CD OD=OD △OAD≌△OCD(SSS) ∠ADE=∠CDE 又∵:AD=CD,DE⊥AC AB是⊙O的直径,∠ACB=90°=∠AEO ∴OD∥BC(
课件网) 类型二:与相似三角形有关 (针对北部湾:2018125,2017T25;百色:2019125,2018T25,201725,2016T25;桂林:2019m25,2017T25;南 宁:2016123;柳州:2019125,2018T25,2016125;来宾:2016125;贺州:2016125,2015125;梧州:2018125.均以解 答题形式考查了圆与相似三角形有关的证明和计算) ③典例精 C例2(2019·柳州)如图,AB是⊙O的直径,弦 CD⊥AB于点E,点F是⊙O上一点,且AC=CF,连接 FB,FD,FD交AB于点N (1)若AE=1,CD=6,求⊙O的半径; (2)求证:BNF为等腰三角形; (3)连接FC并延长,交BA的延长线于点P,过点 D作⊙O的切线,交BA的延长线于点M.求证:ON O=OE·OM. 【思路点拨】(1)连接OD,利用垂径定理和勾股定 理即可求解;(2)连接DA,利用“等弧所对的圆周角相 等”可得∠EDA=∠EDN,结合CD⊥AB,可得DA DN,再利用“同弧所对的圆周角相等”并进行等量代换 即可得证;(3)连PD,延长DO交⊙0于H,连FH,通 过证明△PDO∽△DNO可得,OD2=ON·OP,再证 OD=0E·DM即可 (1)解:连接OD,AB 是直径,CD⊥AB,∴CE DE- 1 CD=3.设OD=OA 2 △ODE中,r-1)2+323 r,则OE 解得r=5 (2)证明:连接DA,AC=CF,∴∠EDA ∠EDF.∵CD⊥AB,∴.DA=DN.∴.∠DAN=∠DNA ∴∠DAN=∠DPB,∠DMA=∠BNF,∴.∠DFB ∠BNF.∴△BNF是等腰三角形 (3)连接PD,延长DO交⊙O于H,连接FH,PB CD,CE=DE,∴∠DPB=∠CPB.∵∠CPB+∠PCD=90° ∠PDH+∠H=90°,∠PCD=∠H,∠CPB=∠FDH. ∠DBB=∠PD.∠DP0=∠FDH,∠POD=∠DON, PO DO △OPD∽△ODN. OD2=0N·OP.又 DO NO OD OE 可证△OED∽△ODM OD=OE.M OM OD ∴PC=PD.∴∠PCD=∠PDC.∴.ON·OP=OE·OM. ③针对训练 3.(2019·百色)如图,已知AC,AD是⊙O的两条割 线,AC与⊙O交于B,C两点,AD过圆心O且与⊙O 交于E,D两点,OB平分∠AOC 1)求证:△ACD∽△ABO (2)过点E的切线交AC于F,若EF∥OC,OC=3,求 EF的值.[提示:(2+1)(2-1)=1](
