高2020届高三第三次模考 数学（理） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则( ) A．1 B． C． D． 2．已知集合，．若，则实数( )? A． B． C． D． 3．在等比数列中，已知，，则( ) A．243 B．128 C．81 D．64 4．函数的大致图像为( ) 5．函数在区间内单调递减，则的取值范围为( )? A． B． C． D． 6．若，，，则( ) A． B． C． D． 7．已知的内角所对的边分别为．若，，，则角大小为( )? A． B． C． D． 8．若实数满足约束条件，则的最大值为( ) A． B． C． D． 9．若，则( ) A． B． C． D． 10．已知三棱锥且平面，其外接球体积为( ) A． B． C． D． 11．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 12．已知函数，，给出下列四个结论，分别是：①；②在上单调；③有唯一零点；④存在，使得．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是( ) A．① B．② C．③ D．④ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若向量，，且，则实数 ． 14．的展开式中的系数为 ． 15．已知定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 ． 16．如图所示，点，分别在的边，上，，，从菱形所在区域随机地取一个点，记事件“所取点位于区域 ”的概率为P，则： ①当为边中点时，P= _____； ②P的最小值为 ． （本题第一空2分，第二空3分） 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知数列满足，，设． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前项和． 18．（本小题满分12分） 如图1，在中，，分别为边，的中点，为的中点， ，．将沿折起到的位置，如图2，使得平面平面，为的中点． （Ⅰ）求证： 平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分） 全球疫情下，作为口罩的“心脏”———熔喷布需求量激增，由于供应不足，导致熔喷布价格从1.8万元/吨上涨到了30多万元/吨，原材料价格高企成为提高口罩产能的最大阻碍．4月10日，据《科技日报》报道，一种可以替代熔喷布的新型纳米过滤材料由河南曼博睿新材料科技有限公司研发成功．按照国家医用外科口罩标准（YY0469-2011）要求，细菌过滤效果和非油性颗粒过滤效果达到95%和30%即为合格，这种新型纳米过滤材料的过滤效果分别可以达到99．5%和78%，超过了国家标准．这种新型材料采用与熔喷布完全不同的原材料与工艺，不受上游设备和原材料供应的制约，且生产建设周期短．目前产品已正式投入量产，初期产能为每天1．2吨，可供生产口罩120-150万只，后续随着产线的增加和改进，产能还可以进一步提高．假设该公司每天生产n批次该材料，它们的某项质量指标为Q，质检员小张每天都会随机地从中抽取50批次检查其该项质量指标是否合格，若较多批次不合格，则需对其余所有批次进行检查．根据已有的生产数据，质量指标Q服从正态分布，且相互独立．若质量指标Q满足，则认为该批次是合格的，否则该批次不合格． （Ⅰ）假设某一天小张抽查出不合格批次数为，求及的数学期望； （Ⅱ）小张某天恰好从50个批次中检查出2批次不合格材料，若以此频率作为当天生产该材料的不合格率．已知检查1个批次的成本为10元，而每批次不合格材料流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有批次，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则． 参考数据：， 20．（本小题满分12分） 已知抛物 ... ...
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