圆方程问题的类型与解法

圆方程问题的类型与解法 圆方程问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考试卷，归结起来圆方程问题主要包括：①求圆的标准方程；②圆的标准方程，一般方程，参数方程之间的关系及运用；③圆的切线方程问题；④圆的最值问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际处理圆方程问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、圆心在抛物线=2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及Y轴都相切的圆的方程是（ ）A -x-2y+1=0 B -2x-y+1=0 C -x-2y+=0 D -2x-y+=0 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求圆方程的基本方法。 【解题思路】运用抛物线的性质，求圆方程的基本方法，结合问题条件求出圆的方程就可得出选项。 【详细解答】设圆的方程为：+Dx+Ey+F=0，+Dx+Ey+F=0， +=，圆心在抛物线=2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及Y轴都相切，=2（-）， D=-2，圆的方程为：-2x-y+=0， =，E=-1 D正确，选D。 =， F= 2、若一三角形的三边所在的直线方程分别为：x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为 ； 【解析】 【知识点】①求圆方程的基本方法；②三角形的定义与性质；③求两条直线交点坐标的基本方法。 【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法，结合问题条件求出三角形三个顶点的坐标，从而得到三角形是一个钝角三角形，根据覆盖钝角三角形最小圆是以钝角的对边为直径的圆就可求出圆的方程。 【详细解答】 由x+2y-5=0，得 x=1， x+2y-5=0，得 x= 3，y-2=0， 得 x=2，三角 y-2=0， y=2， x+y-4=0， y=1，x+y-4=0， y=2， 形三个 顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，2），|AB|==，|AC|==1， |BC|==，|AB|=5>|AC|+|BC|=1+2=3，ABC是以AB为最大边的钝角三角形，能够覆盖此三角形且面积最小的圆是以|AB|为直径的圆，能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为：+=。 3、求以C（1，3）为圆心，且与直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程； 【解析】 【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。 【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出圆的半径R得到圆的坐标方程就可得出选项。 【详细解答】设圆的标准方程为：+=，圆与直线3x-4y-7=0相切， R==，以C（1，3）为圆心，且与直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程为：+=。 4、已知圆与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2，求圆的标准方程； 【解析】 【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③直径三角形的定义与性质。 【解题思路】运用直径三角形的性质，圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件得到关于圆心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求出圆的标准方程。 【详细解答】设圆的标准方程为：+=，圆与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2， |b|=R， a=1， 3a-b=0， b=3， （）+7=，=9， 圆的标准方程为：+=9或+=9。 4、已知圆经过A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点，求圆的标准方程。 【解析】 【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法。 【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件得到关于圆心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求出圆的标准方程。 【详细解答】设圆的标准方程为：+=，圆经过A（5,1）、B(4,4)、C（1， 3）三点， +=， a=3，过A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点 +=， b=2，圆的方程为：+ =5。 ... ...