第4章平行四边形 4.1 多边形（1） 教学目标： 1.理解多边形的有关概念. 2.掌握四边形内角和定理的证明及简单应用. 3.体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想. 教学重点和难点： 重点：四边形内角和定理. 难点：由于四边形内角和定理的证明思路学生不易形成，是数学转化思想的应用. 教学过程： 一、新课引入 目前，整个社会的经济有了很大发展，许多家庭的地面都铺上了地砖、木板，不知同学们有没有仔细看过这些地砖的图形是如何构造，它们有什么特征.这一章我们将学习多边形的有关性质. 二、讲解新课 1、生活中的四边形寻找： 小明家有一间木材加工场，发现有很多余料，你能从图中找出你所熟悉的图形吗? 2、生活中的四边形举例，如图： 等. 3、四边形及其有关概念. 在同一个平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形.结合图形讲解四边形、四边形的边、顶点、角.强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写.如图，可表示为四边形ABCD或四边形ADCB. 4、适当解释空间四边形和凸四边形与凹四边形（结合下图）的概念和区别： 凸四边形：四边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧. 凹四边形：四边形的各条边不都在任意一条边所在直线的同一侧. 5、四边形内角和定理 （1）让学生在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）.或让学生利用拼图的方法（如图），通过实验、观察、猜想得到：四边形的内角和为3600 . 或 让学生根据猜想得到的命题，画图、写出已知、求证. （2）利用手中的一副三角板拼出四边形. 已知：四边形ABCD；求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°. 证明：连结BD ∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°（ ） ∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180° 即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360° 由于学生有前面的铺垫，添辅助线对于学生来说并不难，因此本题在解决中要注意采用多种思维的思考，及题后的小结，当然对这个命题的证明，也可作如下启发或小结： ①我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？②能否把问题化归为三角形来解决？这样可以使学生对证明思路的转化更有体会. （3）学生小组合作探讨出其他至少两种方法： 要求有恰当的图形，并简单地叙述解答的思路. （以上的8种方法均为学生探讨所得(预设)，教师只做适当补充） 6、推导四边形的外角和定理 在图（2）中分别画出以A、B、C、D为顶点的一个外角，记作∠2，∠3，∠4，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值. 猜想并证明四边形的四个外角和等于360°. 解：∵∠1+∠α=∠2+∠β=∠3+∠γ=∠4+∠δ=180° ∴∠1+∠α+∠2+∠β+∠3+∠γ+∠4+∠δ=4×180°=720° 即：(∠1+∠2+∠3+∠4)+(∠α+∠β+∠γ+∠δ)=720° ∵∠α+∠β+∠γ+∠δ=360°(根据四边形的内角和是360°) ∴∠1+∠2+∠3+∠4=720°－360°=360° 7、例题讲解 例1、如图，四边形风筝的四个内角∠A， ∠B， ∠C，∠D的度数之比为1：1：0.6：1 . 求它的四个内角的度数. 分析：有了前面练习的经验，对于学生而言，本例的解答应该不成困难，所以可以放手让学生自行解决，教师只需要注意学生在解答中的不足及对学生能够进行恰当的小结即可. 解：∵∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1：1：0.6：1，∴可设∠A=x，则∠B=∠D= x，∠C=0.6 x；又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴x+ x+ 0.6x+ x=360°，∴x=100 ∴∠A=∠B=∠D=100°∠C=100×0.6 =60° 注意：本例在知识上主要是两个方面的应用，①四边形的内角和，②比例的转化. （补充）例2、在四边形ABCD中，已知∠A与∠C互补，∠B比∠D大15°，求∠B、∠D的度数. 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=180°① 又∵∠B－∠D=15°② 由①、②得∠B=97.5°，∠D=82.5° ... ...
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