中小学教育资源及组卷应用平台 专题二：圆锥曲线最值（范围）问题 圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。 关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；利用基本不等式或函数最值问题解决。 专题目录： 第1讲、利用定义法和几何关系求最值 第2讲、利用均值不等式或函数最值求最值(范围) 第3讲、其他类型 第2讲、利用均值不等式或函数最值求最值(范围) 方法技巧:合理引入变量（长度，角度，斜率等）根据已知条件建立函数关系求最值（范围）或利用均值不等式求最值（范围）。 经典例题： 例1．（2017新课标Ⅰ12题 ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】解法一：由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为， 设，，，，此时直线方程为， 联立，得，∴ 同理得 由抛物线定义可知 当且仅当（或）时，取得等号．故答案选A 解法二：设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴，易知 ；； 又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为 而即：p=2；所以 当取等号，即最小值为16.故选A 【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式. 例2、(山东省日照市2019届高三三模)在等腰梯形 中，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】在等腰梯形ABCD中， ＝－＝, 由双曲线的定义可得, 由椭圆的定义可得, 则＝． 令在上单调递减， 所以，故选B． 例3、已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．9 【答案】A 【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为， 令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆定义，② 又∵，∴，③ ，得，④ 将④代入③，得， ∴，故选A． 例4．（2018年衡水中学12题）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于，两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过作于，设直线与交点为， 由抛物线的性质可知，，， 设，，则，即，∴． 又，∴，∴，∴，∴， 又，，∴，，∴， ∴直角梯形的面积为，解得，∴， 设，，∵，∴， 设直线代入到中得， ∴，，∴，由以上式子可得， 由可得递增，即有，即， 又中点，∴直线的垂直平分线的方程为， 令，可得，故选A． 例5．（19成都七中二诊模拟12题）已知过点P（0，2）的直线l与椭圆交于两个不同的点A（x1，y1）、B（x2，y2），记，则的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.（2，） C.（2，4） D. （2，] 【答案】D 【解析】如图所示．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2．A（x1，y2），B（x2，y2）． 联立y=kx+2和x2+2y2=2，化为（1+2k2）x2+8kx+6=0， 由题意：△＞0，即64k2-24（1+2k2）＞0，化为k2＞．（ ） ∴x1+x2=，x1x2=．（ ） ∵ ∴x1=λx2．与（ ）联立可得： ∵k2＞ ∴ 当直线l的斜率不存在时，A（0，1），B（0，-1），λ=，∴ 综上可得： 故选：D． 点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、不等式的性质，考查了灵活变形的能力 ... ...
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