第2课时 最大公因数和最小公倍数 课时目标 理解和掌握公因数与最大公因数的概念，并会求得两个数的最大公因数； 理解和掌握互素的概念，掌握互素的两个数的特点； 理解和掌握公倍数和最小公倍数的概念，并会求得两个数的最小公倍数； 理解和掌握求三个数最小公倍数的方法. 知识精要 一、公因数与最大公因数 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2、如果2个整数只有公因数1，那么这两个数互素。 两数互素是指两个数的最大公因数是1这样一种关系。它和素数、素因数是不同的概念，不要混淆。 判断：只有2个数都是素数才能互素，对吗？错。比如：4和9。 两数互素，这两个数一般有以下四种情况； （1）素数和素数（19和23）； （2）素数和合数（13和14）； （3）合数和合数（21和22）； （4）1和任何正整数（1和100） 3、求两个数最大公因数的常用方法有：列举法、分解素因数法、短除法。 运用规律法：规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是1.如果两个数满足上面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数。 辗转相除法：求36和84的最大公因数 3 36 84 2 36 72 0 12 上面式子的意思是：84除以36，商是2（写在右边），36×2=72（写在被除数84下方），余数是12，再用36除以12，商是3（写在左边），12×3=36（写在被除数36下方），余数是0，这样，最后的除数12就是36和84的最大公因数。 像上面这种求两个数的最大公因数的方法就是辗转相除法。 求：280和160的最大公因数。 1 280 160 1 160 120 3 120 40 120 0 所以，280和160的最大公因数是40. 求三个数的最大公因数： 用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？ 你能用几种方法求解？你觉得哪种方法更快捷呢？ 用短除法求解可得：18、24、60的最大公因数是2×3=6，所以这个数最大是6. 4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。 上题还有分解素因数法：大家试试求解一下。 二、公倍数与最小公倍数 10、几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 判断下列说法是否正确： （1）两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。（ √ ） （2）两个数的公倍数的个数是有限的。（ × ） （3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。（ √ ） （4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。（ √ ） 如果将“不相同的”去掉，这句话还对嘛？ 11、求两个整数最小公倍数的方法有：列举法、分解素因数法、短除法。 12、如果两个整数中某一个是另一个的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍 数。 13、如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。 14、大数倍数法：将两个数中的较大数依次乘以2、3、4…，所得的积最先是较小这个数的倍数时，那么这个积就是这两个数的最小公倍数。 注：两个数之间的关系有三种情况： （1）互素关系；（2）倍数关系；（3）一般关系； 如果两个数是第1、第2种关系，则用“运用规律法”求他们的最小公倍数更快捷；如果是第3种关系，通常用短除法更快捷（用短除法求最小公倍数时，可用较大公因数去除，使计算更加快捷，除数不一定非是素数）。 热身练习 一、填空 1、两个连续奇数的和是16，那么这两个奇数的最小公倍数是__63___，最大公因数是___1__。 2、如果整数m除以整数n的商是8，那么这两个数的最小公倍数是__m___，最大公因数是__n__。 3、2、5、8、9四个数，任选两个数组成一对，一共可以组成__5___对互素数。 2，5；2，9；5，8 ... ...
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