中小学教育资源及组卷应用平台 专题三 轨迹方程的求法（合理建立坐标系） 考情分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 。 二、经验分享 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求； (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程； (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程； 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 三、题型分析 (一) 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常 数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程． 若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆． 【变式训练】 【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。 求点P的轨迹方程； (2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 因此点P的轨迹方程为。 （2）由题意知。设,则 ， 。 由得，又由（1）知，故 。 所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。 (二) 相关点代入法 据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 例2.如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【解析】 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 【变式训练1】已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合． （1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； （2）若曲线与有公共点，试求的最小值． 【解析】（1）联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）． （2）曲线， 即圆：，其圆心坐标为，半径， 设圆与直线：相切于点， 则有，即． 过点与直线垂直的直线的方程是，即． ... ...
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