【暑期初升高衔接】2.1及2.2 平面向量的实际背景及基本概念 学案（原卷版+解析版）-突破满分之2020年教材精品（必修4）

中小学教育资源及组卷应用平台 突破2.1及2.2 平面向量的基本概念与线性运算 一、考情分析 二、考情分析 知识点1　平面向量的线性运算 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)结合律：λ(μ a)＝λμ a＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ a；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用 1．向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. (3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得_____(如图所示)． 三、题型分析 (一) 关于平面向量的概念及其特殊向量的概念（零向量与单位向量） 例1．给出下列四个命题： ①若 ，则； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若，，则； ④的充要条件是且. 其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】A 【解析】 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵，∴且，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且方向相同，因此. ③正确.∵，∴的长度相等且方向相同，又，∴的长度相等且方向相同，∴的长度相等且方向相同，故. ④不正确.当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，而是必要不充分条件. 【变式训练1】下列说法正确的是（ ） A．就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】C 【解析】对于A，若∥，则，的方向相同或相反，所在的直线与所在的直线平行或在同一直线上，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误； 对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误． 故选：C． 【变式训练2】下列说法正确的个数是（ ） ①两个有公共终点的向量是平行向量； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故③正确；，则的长度相等且方向相同；，则的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故，④正确. 故选：B 【变式训练3】下列说法正确的是（ ） A．与向量共线的单位向量只有 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．向量与向量是两平行向量 D．单位向量都相等 【答案】C 【解析】与向量共线的单位向量有，故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量与方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误. 故选：C (二) 平行向量与共线向量 例2．梯形中，，，、分别是和的中点，设，，则_____. 【答案】 【解析】 因为 ... ...