中小学教育资源及组卷应用平台 第四节 充分条件与必要条件 一、电子版教材 二、教材解读 知识点一 充分条件、必要条件的判断 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 2.若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． 3.若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． 4、若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【例题1】（2020·广东省增城中学高二期中）已知，，则是的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设命题:对应的集合为, 命题 :对应的集合为, 因为AB,所以命题 是命题的充分不必要条件. 【例题2】（2020·全国高一）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“”“”，反之不成立， 因此“”是“”的必要不充分条件． 【例题3】（2020·天津一中高二期末）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A. 【例题4】（2020·全国高一）“且”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当且时，成立， 反过来，当时，例：，不能推出且. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 知识点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用 1.记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA. 2.记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件． 【例题5】（2019·辛集市第二中学高二期中）若“满足：”是“满足：”的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】由，得，令， 由，解得或，令， 由题意知时，即，即， ∴实数的取值范围是. 【例题6】（2020·四川省雅安中学高二月考（文））若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B． （1）求集合A； （2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）原不等式可化为：，解得， 所以集合； （2）不等式可化为：， 等价于，解得， 所以集合， 因为是的必要不充分条件，所以， 故，解得. 知识点三 充要条件的证明 1.一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地 说，如果p?q，那么p与q互为充要条件． 【例题7】（2020·全国高一）已知，求证：的充要条件是． 【解析】（1）证明必要性： 因为， 所以． 所以 ． （2）证明充分性： 因为， 即， 又， 所以且． 因为， 所以， 即． 综上可得当时，的充要条件是． 【例题8】（2020·上海高一课时练习）求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【解析】 (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0. (2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【例题9】（2020·全国高一课时练习）证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【解析】证明：（1）充分性. 在等腰梯形中，，， 又∵，∴，∴. （2）必要性. 如图，过点作，交的延长线于点E. ∵，，∴四边形是平行四边形.∴. ∵，∴，∴. 又∵，∴，∴. 在和中， ∴.∴. ∴梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是. 素养聚焦 1．“”是“”的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充 ... ...
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