第25讲 等比数列及其前n项和-2021年新高考数学一轮专题复习 教案（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第25讲-等比数列及其前n项和 考情分析 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式； 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3.体会等比数列与指数函数的关系. 知识梳理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. [微点提醒] 1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列. 2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. 经典例题 考点一　等比数列基本量的运算 【例1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列的前项和满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，可得. 两式相减得，即. ∵，∴ ∴是首项为6，公比为3的等比数列 从而. 【例1-2】（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为（ ） A．64 B．22 C．-48 D．-6 【答案】C 【解析】等差数列的首项为，设公差（）． 若，，成等比数列， 所以，即， 解得， 所以的前8项和为． 【例1-3】（2020·陕西省高三二模（文））等比数列，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比数列的性质得，所以， 所以， 则，故选：B. 规律方法　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 考点二　等比数列的判定与证明 【例2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【解析】（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得. （2）由（1）知：，所以， 因为当时，，所以，于是=， 所以. 【例2-2】（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列， 所以，故，所以； 所以数列是公比为3的等比数列， 因为是的等差中项，所以， 所以， 解得； 数列的通项公式为； （2）由（1）可知， 故数列是以1为首项，为公比的等比数列， ， 因为恒成立， 所以， 即实数的取值范围为. 规律方法　1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行 ... ...