北师大版（2019）高中数学必修第二册第二章5.1向量的数量积-课件(共43张PPT)+教案+学案（3份打包）

向量的数量积 【教学目标】 【核心素养】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（难点） 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系。（重点） 3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。（重点） 1．通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。 2．通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养。 【教学过程】 一、问题导入 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s|·m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W=|F||s|cos θ。 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由。 二、新知探究 1．与向量数量积有关的概念 【例1】（1）以下四种说法中正确的是_____。（填序号） ①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角； ③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形； ④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2 （2）已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影的数量为_____，b在a方向上的投影的数量为_____。 （3）已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝_____。 思路探究：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。 （1）③④；（2）－；－4；（3）8；[（1）由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ（θ为向量a，b的夹角）。 ①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错； ③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确； ④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确。 （2）设a与b的夹角为θ，则有 a·b＝|a|·|b|·cos θ＝－12， 所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝＝－4． （3）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 因为AB＝AC， 所以BD＝BC＝2， 于是||cos ∠ABC＝|| ＝||＝×4＝2， 所以·＝||||cos ∠ABC＝4×2＝8． [教师小结] （一）在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写。 （二）求平面向量数量积的方法： （1）若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ。 （2）若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b。 2．数量积的基本运算 【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，当（1）a ∥ b；（2）a ⊥ b；（3）a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积。 思路探究：（1）当a ∥ b时，a与b夹角可能为0°或180°。（2）当a ⊥ b时，a与b夹角为90°。（3）若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|·cos θ（θ为a，b夹角）求值。 解：设向量a与b的夹角为θ， （1）a ∥ b时，有两种情况： ①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|，cos 0°＝20； ②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|·cos 180°＝－20. （2）当a ⊥ b时，θ＝90°， ∴a·b＝0。 （3）当a与b夹角为135°时， a·b＝|a||b|·cos 135°＝－10。 [教师小结] （1）求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|·cos θ。 （2）非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|。 3．与向量模有关的问题 【例3】已知x＝1是方程x2＋|a|·x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°。求向量b的模。 解：因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2， 将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0， ... ...