北师大版（2019）高中数学必修第二册第四章2.4积化和差与和差化积公式-课件(共40张PPT)+教案+学案（3份打包）

积化和差与和差化积公式 【教学目标】 1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式． 2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 【教学重难点】 三角函数的积化和差与和差化积公式 【教学过程】 一、问题导入 两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？ 二、合作探究 1．积化和差问题 【例1】（1）求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. （2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. [思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角． [解] （1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. （2）原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝cos 10°cos 50°cos 70° ＝ ＝cos 70°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°) ＝cos 70°＋cos 110°＋＝. 【教师小结】积化和差公式的功能与关键 1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式. ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质. 2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数. 2．和差化积问题 【例2】已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值． [思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解． [解] ∵cos α－cos β＝， ∴－2sinsin＝. ① 又∵sin α－sin β＝－， ∴2cossin＝－. ② ∵sin≠0， ∴由①②，得－tan＝－，即tan＝. ∴sin(α＋β)＝ ＝＝＝. 1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值． [解] 因为cos α－cos β＝， 所以－2sin sin ＝. ① 又因为sin α－sin β＝－， 所以2cos sin ＝－. ② 因为sin ≠0， 所以由①②，得－tan ＝－，即tan ＝. 所以cos (α＋β)＝ ＝＝＝－. 2．(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－”变为“cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，结果如何？ [解] 因为cos α＋cos β＝， 所以2cos cos ＝. ① 又因为sin α＋sin β＝－， 所以2sin cos ＝－. ② 所以cos ≠0，所以由①②，得tan ＝－， 所以sin (α＋β)＝＝＝＝－. 【教师小结】和差化积公式应用时的注意事项： 1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次. 2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项. 3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝cos－cos α. 3．公式的综合应用 [探究问题] （1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？ [提示] 注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等． （2）在△ABC中有哪些重要的三角关系？ [提示] 在△ABC中的三角关系： sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C， sin＝cos，cos＝sin， sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C． 【例3】在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C ＝4sinsincos. [思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π. [解] 左边＝sin(B＋C)＋2sin·cos ＝2sincos＋2sincos ＝2cos ＝4sinsincos＝右边，∴原等式成立． 【教师小结】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好 ... ...