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课件网) 八年级 上册 最短路径问题 学习目标 1.用轴对称解决最短路径问题 2.用平移解决造桥选址问题。 教学重点：掌握解决最短路径问题的方法思路 合作探究 问题1： B A l 牧童饮马问题：一个牧童从A点出发去B点，但路途中必须去河流l旁边饮马，如何规划路线最短。 合作探究 步骤1：这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． B · · A l 合作探究 步骤2：用自己的语言把它抽象为数学问题 在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B 地的路程之和。 数学问题：设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）. B A l C 合作探究 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求。 步骤3：将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等。 B · l A · B′ C 合作探究 步骤4：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC'，B′C′ 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′ ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′ AC′+BC′= AC′+B′C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短． B · l A · B′ C C′ 合作探究 问题2： 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AM+MN+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） B A 合作探究 步骤1：如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ B A Ｍ Ｎ 从A到B的路径为 AM+MN+BN 合作探究 步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢 如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. B A A1 M N 合作探究 步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢 B A A1 M N Ｎ１ Ｍ１ 理由：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三边关系得A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN 知识小结 知识点1 用轴对称解决最短路径问题 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 知识点2 用平移解决造桥选址问题 我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时，根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，再结合桥垂直于河岸，即可得出桥的位置． 随堂练习 1．直线l是一条河，P、Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ) D 随堂练习 2．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是_____. 3．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2,4)、B(4,2)，在x轴上取一点P，使点P到点A、B的距离之和最小，则点P的坐标是( ) A．(－2,0) B．(4,0) C．(2,0) D．(0,0) C (0,3) 随堂练习 4．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C ... ...
