中小学教育资源及组卷应用平台 梯形中常见辅助线的添加方法 本文就求解梯形问题时辅助线的作法进行归类探究，供参考． 一、连结对角线，构造三角形 连结对角线的本质是将梯形转化为基本三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解决问题． 例1 求证： 梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2． 二、添加平行线，构造平行四边形 证明 如图l，梯形ABCD，连结对角线 AC，则S梯形ABCD=S△ABC+S△ACD． 设△ABC的高为h，显然△ACD的高也为h． ∴S梯形ABCD=S△ABC+S△ACD ＝BC·h＋AD·h ＝（BC＋AD）·h 故梯形面积＝（上底+下底）×高÷2， 得证． 二、添加平行线，构造平行四边形 添加平行线的核心是将梯形转化为平行四边形，再运用平行四边形的一些性质与规律去解决问题，添加方法有过顶点向形内或向形外作平行线两种情形．21世纪教育网版权所有 1、向形内作平行线 例2 如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝80°，∠C＝50°，DC＝9， AB＝5，求AD的长． 解 过点B作BE∥AD，交DC于点E． 由题可知四边形ADEB为平行四边形， ∴AD＝BE．AB＝DE＝5， ∠D＝∠BEC＝80°． ∠C＝50°． ∴∠EBC＝180°－50°－80°＝50°， 即BE＝EC＝DC－DE＝4， 故AD＝4． 2、向形外作平行线 例3 如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD．若AD＝3，BC＝7，则梯形ABCD面积的最大值为_____．21cnjy.com 解 过点D作DE∥AC，与BC的延长线交于点E，易知DE⊥BD．四边形ACED为平行四边形， 即AD＝CE，所以S△ABD＝S△CED． 由图3知， S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD ＝S△BED ＝BD·DE． 两边同时平方，得 S2梯形ABCD＝S2BDE＝BD2·DE2， 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BD2＝BE2－DE2＝100－DE2， ∴S2梯形ABCD＝（100－DE2）·DE2 ＝－DE4＋25DE2． 配方得 S2梯形ABCD＝－(DE2－50)2＋625． 即当DE2＝50时， S2梯形ABCD max＝625， ∴S梯形ABCDmax＝25． 故梯形ABCD面积的最大值为25． 三、添加垂线，构造直角三角形或矩形作垂线一般是将梯形转化为矩形与直角 三角形，再运用二者的规律去解决问题， 例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，上底为10，下底为18，腰长为5．求梯形的面积． 解 过点A、D作BC垂线，垂足分别为E、F， ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 即EF=AD=10． 根据对称性可知， BE＝CF＝＝4． 在直角△ABE中， 由勾股定理，得 AE2＝AB2－BE2， ∴AE＝3． 故梯形的面积为： S＝（AD＋BC）·AE ＝(10＋18)×3 ＝42． 四、反向延长腰，构造特殊三角形 若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延长腰将梯形转化成特殊三角形，达到简化问题的目的． 例5 如图5，已知梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，求此梯形的周长．21教育网 解 反向延长AB，DC交于点E， 由题意可知，△EBC为等边三角形． 又∵∠EAD＝∠EDA＝60°． ∴△EAD为等边三角形， ∴AB＝BE－AE ＝BC－AD＝8－2 ＝6． 故梯形的周长为 AB＋BC＋CD＋DA ＝6＋8＋6＋2＝22． 五、添加中位线 作中位线的目的是利用中位线定理去解决问题． 例6 如图6，已知AE_???DH???B???_C分别是AD的四等分点，F、G分别是EH的四等分点，AE＝28．DH＝36，求BF和CG的长度．21·cn·jy·com 解 分别取AD、EH的中点M、N，连结MN， ∴MN是梯形ADHE的中位线， 即MN＝（AE＋DH）[来源:学科网ZXXK] ＝(28＋36) ＝32． 又∵BF、CG分别是梯形AMNE、MDHN的中位线， ∴BF＝－(AE＋MN) ＝(28＋32) ＝30， CG＝(MN＋DH) ＝(32＋36) ＝34． 六、作过顶点和腰中点的连线，构造全等三角形 添加该辅助线后，通常是将梯形转化为多个三角形与四边形，再寻找其中的全等三角形解决问题． 例7 如图7，梯形ABCD中，M为腰AD的中点，MH⊥BC于点H．求证：S梯形ABCD＝BC·MH． 证明 连结CM，并延长交AB的反向延长线于点N，连结BM ... ...
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