4.2.5 正态分布 课标阐释 思维脉络 1.通过实例认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 2.通过本节的学习,体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用. 激趣诱思 知识点拨 正态分布是连续型随机变量所服从的一种重要分布,它有着广泛的应用,比如在医学领域有不少医学现象服从或近似服从正态分布,如同性别、同年龄儿童的身高和体重,同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等.在这类情形下,利用正态分布可以很容易地确定其数值出现在任意指定范围内的概率,尤其是医学参考值范围的估计.另外,像实验中的测量误差一般也是服从正态分布的,利用这一点,可以准确地进行误差分析和质量控制. 激趣诱思 知识点拨 一、正态曲线 2.正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点; (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1; (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1)正态曲线位于x轴上方,与x轴不相交; (2)曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,其图像“中间高,两边低”; (3)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移; (4)正态曲线完全由变量μ和σ确定,参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数,所以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计. 激趣诱思 知识点拨 微思考 提示:2 激趣诱思 知识点拨 微练习 关于正态曲线特点的描述: ①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方; ②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方; ③曲线关于y轴对称,曲线对应的函数是一个偶函数; ④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低; ⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定; ⑥σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”. 说法正确的是( ) A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥ 激趣诱思 知识点拨 解析:参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,只有当μ=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此A选项正确. 答案:A 激趣诱思 知识点拨 二、正态分布 1.正态分布:一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2). 此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数,此时μ是X的均值,σ是X的标准差,σ2是X的方差. 激趣诱思 知识点拨 2.随机变量X在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则 (1)在三个特殊区间内取值的概率 若X~N(μ,σ2),则 ①P(|x-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%, ②P(|x-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%, ③P(|x-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%. (2)3σ原则 由于随机变量X在(-∞,+∞)内取值的概率为1,又由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 X几乎都取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率是极小的,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统计中常用的假设检验方法的基本思想. 3.标准正态分布 μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0,1). 激趣诱思 知识点拨 微思考 P(X≥μ)和P(X≤μ)有什么关系?各等于多少? 提示:P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5. 微练习1 关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是( ) A.随机变量落在区间长度为 ... ...
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