第二讲 一元二次不等式及其解法 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测 知识点一 一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数__大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的__判别式__. (3)当__Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的__交点__确定一元二次不等式的解集． 知识点二 三个二次之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有__两相异__实根x1，x2(x1
0(a>0)的解集 {x|__x>x2或x0)的解集 {x|__x10(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件． 3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根． 4．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)?. 5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)； 若0ag(x)?f(x)1，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0； 若0logag(x)?00 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集 题组二 走进教材 2．(必修5P80A组T4改编)已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则?RA等于( B ) A．{x|－23} D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3} [解析] ∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0， ∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}． 在数轴上表示出集合A，如图所示． 由图可得?RA＝{x|－2≤x≤3}．故选B． 3．(必修5P80A组T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是__(－∞，)∪(，＋∞)__. [解析] 由题意，得3x2－2x－2>0， 令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝， ∴3x2－2x－2>0的解集为 (－∞，)∪(，＋∞)． 题组三 考题再现 4．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围是__(－1，)__. [解析] 3x2＋x－2<0?(x＋1)(3x－2)<0， ?(x＋1)(x－)<0?－10的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( C ) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [解析] ∵关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x＋)(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|10； (3)≥1. [分析] (1)将二次项系数化为正数，变为2x2－x－3>0，求方程2x2－x－3＝0的根，若无根，则解集为R，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集； (3)移项通分化为>0的形式，进而化为f(x)·g(x)>0求解． [解析] (1)化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0， ∴(x＋ ... ... 