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课件网) 1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题. 2.解决一些抛物线的综合问题． 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一 和抛物线有关的轨迹方程 根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程. 知识点二 直线和抛物线 1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2.抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ②|AB|＝ ； x1＋x2＋p 1.若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN √ 解析 方法一 设动点P的坐标为(x，y). 整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0， 即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0. 所以动点P的轨迹为直线. 方法二 显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上， 则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线. 2.已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 A.x2＝－12y B.x2＝12y C.y2＝12x D.y2＝－12x √ 解析 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r， 由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等. 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点， 以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y. 3.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于 A.5 B.6 C.8 D.10 √ 解析 由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8. 4.P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有 √ 解析 如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线， 2 题型探究 PART TWO 一、和抛物线有关的轨迹问题 (1)求点P的轨迹方程； 解 过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y， 故点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝ ，求实数k的值. 解 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∴k4＋3k2－4＝0， 又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 反思感悟 求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程. (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程. 跟踪训练1 若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R， 由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1. 因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切， 所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离. 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点， 故其方程为y2＝8x. 二、抛物线的综合问题 例2 如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N. (1)求y1y2的值； 解 依题意，设AB的方程为x＝my＋2， 代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8. (2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明： 为定值. 证明 设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 设直线AM的方程为x＝ny＋1， 代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0， 所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4， 反思感悟 解决抛物线综合问题的基本策略 对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论. 跟踪训练2 (1)已知A(2,0)，B ... ...
