√3 ∴PB= ),PD=( 0 设平面PBD的一个法向量为m=(x,y,z) n·PB=0, 由 得 8分 m·PD=0 =0. E 令z=√3,得m=(-1.√3,3) 分 又平面BCD的一个法向量为EA=(0,0,1).……10分 设二面角PBD-C的大小为0,由题意知该二面角为锐角 EA 21 则cosO EA|m|1×√7 21 ∴二面角P一BD一C的余弦值为 ……12分 7 20:(1)设圆x2+y=4上任意一点M(,y)经过伸箱变换g31y=1、得到对应点 M O 将x=x′,y=2y代入x2+y2=4,得x2+(2y)2=4,化简得+y2=1. ∴曲线C的方程为一+y2=1. …4分 ()由题知当直线AD的斜率不存在时,由|AD|=2,则A,B两点重合,不满足题意. 5分 当直线AD的斜率存在时,不妨设直线AD:y=kx+m,A(x1,y1),D(x2,y2). 因点B,D关于原点对称,故S△ABD=2S△ACm y=kx t 由 消去y,化简得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. ∴△=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)>0, 即4k2-m2+1>0. ski n ∴x1+x2-1+4k2”1+4k2 6分 由|AD|=2,即AD|=√1+k2|x1-x2|=√1+k +4k2 31+4k 得 8分 1+k 设点O到直线AD的距离为d,则d=_|m √1+k 又S△ABD=2S△AD=2×|AD·d=2d, 高三数学(理科)摸底测试参考答案第3页(共5页) 2 △ABD 3,√4k2+1 9分 k2+1 k2+1 令、4b+1=1(1≥1),则k2=1(2-1 ……10分 4√3t4√3 t2+3 ≤2,当且仅当t=3时等号成立 此时k2 2 m2=。且满足( )式 ……11分 ∴△ABD面积的最大值为2. ……12分 21.解:∵f(x)=(x+1)e+a, ∴f(x)的零点个数等价于方程一a=(x+1)e的根的个数. 分 设F(x)=(x+1)e,则考虑直线y=-a与曲线y=F(x)的公共点个数 ∵F(x)=(x+2)e".令F(x)=(x+2)e=0,解得x=-2. 当x∈(-∞,-2)时,F(x)<0,此时F(x)在(一∞,-2)上单调递减 当x∈(-2,+∞)时,F(x)>0,此时F(x)在(-2,+∞)上单调递增 ∴F(x)的最小值为F(-2) 又F(-1)=0,当x<-1时,F(x)<0;当x>-1时,F(x)>0. 当x→-∞时,F(x)→>0;当x→+∞时,F(x)→+∞. …2分 由其函数图象性质,可得: ①当-a≥0或-a 即a≤0或a 6÷时,直线y=-a与曲线y=F(x)有1 个公共点; 3分 当—<-a<0,即0
时,直线y=-a与曲线y=F(x)无公共点 综上所述,当a≤0或a=时,f(x)有且只有1个零点;当0时,f(x)无零点 分 (Ⅱ)当x∈(1,+∞)时,若f(x)≥g(x)成立, 即xe+x≥ ar" Inx+alnx对x∈(1,+∞)恒成立, 亦即xe+x≥(alnx)e+alnx对x∈(1,+∞)恒成立 …6分 设函数h(x)=xe2+x ∴h(x)≥h(alnx)对x∈(1,+∞)恒成立 又h(x)=(x+1)e+1,设g(x)=h(x)=(x+1)e+1. ∴q(x)=(x+2)e 当x∈(∞,-2)时,g(x)<0,此时h(x)在(∞,-2)上单调递减; 当x∈(-2,+∞)时,g(x)>0,此时h'(x)在(-2,+∞)上单河递增 高三数学(理科)摸底测试参考答案第4页(共5页) 
