第二十二讲 物不知数与同余 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1． （1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？ 「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢： （2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？ 练习1． （1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？ （2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？ 例题2． （1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？ 「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是吗？ 练习2． 一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？ 例题3． （1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？ （2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？ 「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件． 练习3． 一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？ 如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”． 我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，则是4的倍数．也就是说： 如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除．反之亦然． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题4． （1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？ （2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？ 「分析」（1）由，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要满足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题． 练习4． （1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？ （2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？ 例题5． 刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最 ... ...
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