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课件网) 22.2.4相似三角形的判定（四） 学习目标 【学习目标】 1．经历三角形相似的判定定理3的探索及证明过程． 2．能应用定理3判定两个三角形相似，解决相关问题． 【学习重点】 三角形相似的判定定理3及应用． 【学习难点】 三角形相似的判定定理3的证明． 情景导入 旧知回顾： 1．简述全等三角形的判定定理“SSS”内容． 三边对应相等的两个三角形全等． 2．我们已经学过相似三角形的哪些判定方法？ (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)两角对应相等，两三角形相似． 知识模块一 三角形相似的判定定理3的证明 三角形相似的判定定理3是什么？如何证明？ 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(简称：三边成比例的两个三角形相似) 自学互研 探究：已知：如图，△A′B′C′和△ABC中， ＝ ＝ . 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在A′B′上截A′D＝AB， 过D作DE∥B′C′交A′C′于E.∵DE∥B′C′， ∴△A′DE∽△A′B′C′， ∴ ＝ ＝ . 又∵ ＝ ＝ ， ∴A′D＝AB，AC＝A′E，DE＝BC， ∴△ABC≌△A′DE(SSS)，∵△A′DE∽△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′. 范例 已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( ) A．2cm，3cm B．4cm，5cm C．5cm，6cm D．6cm，7cm C 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 归纳 知识模块二 三角形相似的判定定理3的应用 例:如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形， △ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，△ ABC与 △A′B′C′相似吗?为什么? C B A A′ B′ C′ 解：△ ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ∴ △ ABC与△ A′B′C′相似. 范例 1：如图，已知 ＝ ＝ ，证明：∠BAD＝∠CAE. 【分析】欲证∠BAD＝∠CAE，可先证明△ABC∽△ADE，推出∠BAC＝∠DAE，进而得出结论，而由已知条件中三边对应成比例，知必有两三角形相似． 证明：∵ ＝ ＝ . ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 2：如图，点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点F. (1)证明：△ABD≌△BCE； (2)BD2＝AD·DF吗？为什么？ 证明：(1)△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°， 又∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)． (2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠ADB＝∠BDF，∴△ABD∽△BFD， ∴ ＝ ，∴BD2＝DF·AD. 检测反馈 1．如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在边AB上取点F，当BF＝_____时，△CBF与△CDE相似． 1.8 2．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ) ,A ,B ,C ,D B 3．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN＝45°，试说明△BCM∽△ANC. 解：∵∠A＝∠B＝45°， 又∵∠ANC＝∠NCB＋45°， ∠BCM＝∠NCB＋45°， ∴∠ANC＝∠BCM，∴△BCM∽△ANC. 4．已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD.求证：△DBE∽△ABC. 证明：∵∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△ABD∽△CBE，∴ ＝ . ∵∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE. 5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC， CA的中点， ∴ ... ...
